测量平差电子教案2

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1、第二章平差数学模型与最小二乘原理第一节概述一、确定几何模型的必要元素二、必要元素的选取三、自由度、多余观测值的个数必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示。特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观

2、测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值：为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。四、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3实际上：一、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。第二节测量平差的数学模型设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数

3、，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0

4、度仍是r=n-t。如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。四、附有限制条件的间接平差法例1：有观测站方向观测了6个角度Li，试用文字、符号列出进行测站平差时的条件方程。例2，在水准网中，测得高差　，　为待定点，A为

5、已知点。列出条件式。五、平差的随机模型数学模型函数模型随机模型：条件方程的综合形式为：为了线性化，取X的近似值取的初值将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：第三节函数模型的线性化一、条件平差法二、附有参数的条件平差法四、附有限制条件的间接平差法三、间接平差法为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。一、参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：条件的个数r=n-t

6、，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。第四节　最小二乘原理参数估计的性质1、无偏性2、一致性3、有效性4、矩估计5、最大似然估计例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：实际上：写成矩阵：间接平差函数模型二、最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大

7、值时的作为X的估计量。由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原则。复习：矩阵的求导法则1、向量的微分2、向量函数对向量的导数3、矩阵的求导法则则：