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时间:2020-08-02
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1、第3章 协方差传播律及权侧方交会中,A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知,坐标方位角为 ,由交会的观测 ,求交会点的坐标。问题:观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间,存在着怎样的关系?13.1 协方差传播律3.1.1 观测值线性函数的方差已知:那么:证明:设:那么:23.1.1 观测值线性函数的方差(续1)3例1:设,已知,求的方差。解:由协方差传播律可知:3.1.1 观测值线性函数的方差(续2)4解:令所以,角X的中误差为3.1.1 观测值线性函数的方差(续3)例2:在测站A上,,无误差,观测角的中误差,协方差,求角x的中误差。21,bb5已知:3.1.2 多个观测值线性函数的协
2、方差阵6例3:在一个三角形中,同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3,其中误差为,将闭合差平均分配后各角的协方差阵。说明:解:相关相等精度提高3.1.2 多个观测值线性函数的协方差阵(续1)7已知例4:设有函数,求例5:已知函数,求解:3.1.2 多个观测值线性函数的协方差阵(续2)8设有观测值X的非线性函数:已知:3.1.3 非线性函数的情况9将Z按台劳级数在X0处展开:3.1.3 非线性函数的情况(续1)103.1.3 非线性函数的情况(续2)11解:1)2)将F2取全微分后得例6:设有观测向量L,已知其协方差阵试求下列函数的方差;3.1.3 非线性函数的情况(续3)12例7、已知
3、3.1.3 非线性函数的情况(续4)13略解:3.1.3 非线性函数的情况(续5)14根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式运用协方差传播律,写出观测量的协方差阵对函数式进行线性化,求全微分将微分关系写成矩阵形式协方差传播应用步骤:3.1.3 非线性函数的情况(续6)15a1b1a2b2abaNbN1(s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-13.2协方差的应用3.2.1 水准测量的精度精度降低了 倍说明:当各测站的距离大致相等时,水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。16精度提高了 倍设对某量以同精度独立观测了N次,得到观测值N个,每次测量的中误差均等于3.2.1 同精度
4、独立观测值的算术平均值的精度17例1:Sab=100m,丈量4次平均值的中误差为2cm,若以同样精度丈量CD16次,Scd=900m,求两段距离的相对中误差。解:3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续1)181、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。二、权与定权的常用方法3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续3)19若则若则3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续4)203)权是衡量精度的相对指标,为了使权起到比较精度的作用,一个问题只选一个0。5)权可能有量纲,也可能无量纲,视0和i的单位而定。4)只要事先给定一定的条件,就可以定权。6)方差之间
5、比例关系的数字特征。3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续5)212、单位权中误差3、常用的定权方法1)、水准测量的权或3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续6)222)、边角定权3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续7)23例1:甲、乙、丙三人在A、B两水准点间作水准测量,甲路线观测高差为a,单位权中误差为正负3毫米(以2km为单位权)。乙路线观测高差为b,单位权中误差为正负2毫米(以1km为单位权)。丙路线观测高差为c,单位权中误差为正负4毫米(以4km为单位权)。现欲根据a,b,c三值求A、B间高差的带权平均值,试求三者的权之比。3.2.1 同精度独立
6、观测值的算术平均值的精度(续8)24解:先求甲、乙、丙三人每公里观测高差的中误差3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续9)25解:由同精度观测值的算术平均值的基本公式得,一次观测的权倒数所以每次丈量10km的距离的权为:长度为的距离的权为:则故即丈量2.5km的距离一次的权为2。所以本题演算中是以5km距离一次丈量中误差作为单位权中误差的。例2:设对丈量10公里的距离,同精度丈量10次,令其平均值的权为5,现以同样等级的精度丈量2.5公里的距离。问丈量此距离一次的权是多少?在本题演算中是以几公里的丈量中误差作为单位权中误差的?3.2.1 同精度独立观测值的算术平均值的精度(续10)
7、261、协因数与协因数阵3.3 协因数与协因数传播律27不难得出:QXX为协因数阵3.3 协因数与协因数传播律(续1)变形形式为:28特点:I对称,对角元素为权倒数II正定III各观测量互不相关时,为对角矩阵。当为等精度观测,单位阵。3.3 协因数与协因数传播律(续2)292、权阵a、当L相互独立时;b、当L不相互独立时注:权、权阵、协因数阵的概念权阵P与权Pi是两个不同的概念:1、当P为对角阵时
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