2019_2020学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入章末复习课学案北师大版

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1、第5章数系的扩充与复数的引入复数的概念【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．思路探究：根据复数的分类列方程求解．[解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由①得x>或x<.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>且x≠4时，z为虚数．解决复数问题的三点注意1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要

2、条件是复数问题转化为实数问题的依据．3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．1．(1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)A．－3　　B．－1C．1D．3(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．(1)D　(2)1　[(1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得解得故复数z的实部是1．法二：由i(z＋1)＝－3＋2

3、i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1．]复数的四则运算【例2】　(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)A．－2　　B．－2iC．2D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)A．2＋3i　B．2－3iC．3＋2i　　D．3－2i思路探究：(1)先求出及，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C　(2)A　[(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2

4、i＋2＋i＝2＋3i.]复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数．2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为(　　)A．＋i　　　　B．－iC．－＋iD．－－iA　[因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.]复数的几何意义【例3】　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　)A．(0，－1)B．(0,1)C．D．思路探究：先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．

5、(1)A　(2)A　[(1)复数＝＝＝＋i.∴复数对应点的坐标是.∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.]复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)(2)若

6、i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)A．EB．F　　　C．G　　　D．H(1)A　(2)D　[(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】　设z∈C，满足z＋∈R，且z－是纯虚数，求z.思路探究：本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝x＋yi＋＝＋i，∵z＋∈R，∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．∴∴

7、x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，∴复数z＝±i.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．4．已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求

8、z1

9、；(2)若

10、z

11、＝1，求

12、z－z1

13、的最大值．[解]　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴

14、z1

15、＝＝2.(2)∵

16、z

17、＝1，∴可设z＝cosθ＋i