2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教A版

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1、3.1.1　数系的扩充和复数的概念学习目标核心素养1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)1．通过复数概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过复数有关概念的应用，培养学生的数学运算的核心素养.1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi

2、a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)思考：复数集、实数集、虚数集

3、、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示]　1．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有(　　)A．C＝R∩I　　　　　B．R∩I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝D　[由复数的概念可知R⊂C，I⊂C，R∩I＝.]2．复数i－2的虚部是(　　)A．i　　　　　B．－2C．1D．2C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A　[∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]4．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是__

4、______．0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.1＋i，πi，＋2i，－i，i　πi，i　[根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]复数的概念及分类【例1】　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？[解]　①当x满足即x＝5时，z是实数．②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形

5、式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．1或－3　[由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3.]2．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．[解]　由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.①当k2－5

6、k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.③当时，z是纯虚数，解得k＝4.④当时，z＝0，解得k＝－1.复数相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？[提示]　由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？[提示]　若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.【例2】　(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值

7、等于________．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．思路探究：(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3　[∵z<0，∴∴m＝－3.](2)[解]　设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝.1．(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．[解]　由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i.

8、2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．[解]　由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，故解得所以实数m的取值范围为.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的