2018年高中数学数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教a版

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1、3．1.1　数系的扩充和复数的概念预习课本P102～103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？　　(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？　　　　　1．复数的有关概念我们把集合C＝中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．[点睛]　复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集

2、，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数z[点睛]　复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“

3、×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(　　)(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　)A．1，　　　　　　　　　B．1＋，0C．0,1＋D．0，(1＋)i答案：C3．复数z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有(　　)A．m＝±1B．m＝－1C．m＝1D．m≠1答案：B复数的概念及分类[典例]　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解]　(1)当x满足即

4、x＝5时，z是实数．(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.　　　　　　[活学活用]当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？解：∵

5、z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．(3)当m满足即m＝0时，z为纯虚数.复数相等[典例]　已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．[解析]　设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且2－＋3m＝0，所以m＝.[答案]　　－[一题多变]1．[变条件]若将本例

6、中的方程改为：x2＋mx＋2xi＝－1－mi如何求解？解：设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得解得或因此，当m＝－2时，原方程的实根为x＝1，当m＝2时，原方程的实根为x＝－1.2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x2－x－1＝(10－x－2x2)i，如何求解？解：设方程实根为x0，则原方程可变为3x－x0－1＝(10－x0－2x)i，由复数相等定义，得：解得或因此，当m＝11时，原方程的实根为x＝2；当m＝－时，原方程的实根为x＝－.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问

7、题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．　　　　层级一　学业水平达标1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)A．3－3i　　　　　　　　B．3＋iC．－＋iD.＋i解析：选A　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　　)A