2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入阶段复习课学案苏教版

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1、第3章数系的扩充与复数的引入第二课　数系的扩充与复数的引入复数的概念【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由①得x>或x<.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>且x≠4时，z为虚数．处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi

2、的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．1．(1)复数z＝

3、(－i)i

4、＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．(2)设z＝＋i，则

5、z

6、＝________.(1)2－i　(2)　[(1)∵(－i)i＝i＋1，∴

7、(－i)i

8、＝

9、i＋1

10、＝2，∴z＝2＋i5＝2＋i，∴复数z的共轭复数为2－i.(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，则

11、z

12、＝＝.]复数的四则运算【例2】　(1)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是_______

13、_．(2)已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为________．[思路探究]　(1)先利用复数相等求x，y，再求模；(2)先求，进而求z，再计算.(1)5　(2)＋i　[(1)法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故

14、x＋yi

15、＝

16、4－3i

17、＝＝5.法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故

18、x＋yi

19、＝

20、4－3i

21、＝＝5.法三：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故

22、x＋

23、yi

24、＝

25、4－3i

26、＝＝5.(2)因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.](1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．2．(1)复数＝________.(2)2019＝________.(1)－2i　(2)－i　[(1)＝＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)2019＝i2019＝i3＝－i.]复数的几何意义【例3】　已知复数z满

27、足

28、z

29、＝，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，()2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足

30、m－z

31、＝1，求

32、m

33、的最值．[思路探究]　(1)设出z，列方程求解；(2)计算出()2，z－z2，求出对应点B，C，在坐标系中确定三角形，进而求面积；(3)求出复数m在复平面内对应点的轨迹，利用数形结合法求

34、m

35、的最值．[解]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，∴∴或∴z＝1＋i或z＝－1－i.(

36、2)当z＝1＋i时，()2＝－2i，z－z2＝1－i，则A(1,1)，B(0，－2)，C(1，－1)．∴S△ABC＝·2·1＝1.当z＝－1－i时，()2＝－2i，z－z2＝－1－3i，则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，∴S△ABC＝·2·1＝1.(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，

37、z

38、＝，又

39、m－z

40、＝

41、m－(1＋i)

42、＝1，则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆，所以，

43、m

44、最小值＝－1，

45、m

46、最大值＝＋1.复数可由复平面内的点或向量进行表示(

47、1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．3．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是________．(－1,3)　[z＝＝(1＋2i)(1＋i)＝－1＋3i，所以z在复平面内对应点的坐标是(－1,3)．]转化与化归思想【例4】　设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.[思路探究]　本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]　设z＝

48、x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝x＋yi＋＝＋i，∵z＋∈R，∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1.又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数，∴∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，∴复数z＝±i.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为