高中数学 数系的扩充与复数的引入章末复习学案新人教a版

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1、第三章数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标　1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上

2、的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝(r≥0，r∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘

11、法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)2．原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)3．方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)类型一　复数的概念例1　已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数解　

12、由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.由a2－4≠0，解得a≠±2.(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝－5或a＝3，∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，得a≠－5且a≠3且a≠±2，∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．(3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，得a＝3，∴当a＝3时，z＝0.引申探究　例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，得a无解，

13、∴不存在实数a，使z为纯虚数．反思与感悟　(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数．考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x>且x≠4.所以当x>且x≠4时，z为虚数．类型二　复数的四则运算

14、例2　(1)计算：＋2018＋；(2)已知z＝1＋i，求的模．考点　复数四则运算的综合运用题点　复数的混合运算解　(1)原式＝＋1009＋＝i＋(－i)1009＋0＝0.(2)＝＝＝1－i，∴的模为.反思与感悟　(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i的周期性①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)；②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．跟踪训练2　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)A．－1＋3iB．1－3iC．3＋iD．3

15、－i考点　共轭复数的定义与应用题点　利用定义求共轭复数答案　B解析　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.(2)已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．①求复数z；②求的模．考点　复数四则运算的综合应用题点　与混合运算有关的未知数求解解　①设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.又∵＝为纯虚数，∴a＝－1，即z＝－1＋3i.②＝＝＝＝－2＋i，∴＝

16、－2＋i

17、＝＝.类型三　数形结合思想