高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充与复数的概念学案新人教a版选修2

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1、3.1.1数系的扩充与复数的概念一、课前准备1．课时目标⑴了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想；⑵了解引进复数的必要性；⑶理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示；⑷掌握复数相等的概念和复数的分类．2．基础预探⑴数系的扩充：自然数→__________→___________→_____________．⑵我们把集合中的数，即形如__________的数叫做复数，复数通常用字母表示，即，这一表示形式叫做__________．其中__________叫做虚数单位，__________与__________分别叫做复数的实部与虚部．⑶对于复数，当且仅当_

2、_________时，它是实数；当__________时，叫做虚数；当__________时，叫做纯虚数．⑷复数相等：________．⑸复数分成两类：__________和__________．⑹复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系，如下：｛纯虚数｝_________｛虚数｝________｛复数｝；｛实数｝_________｛复数｝；｛实数｝｛虚数｝=_________．【答案】⑴有理数实数复数⑵复数的代数形式⑶⑷⑸实数虚数⑹，，，二、学习引领1．为了解决有解这一问题，引进了新数i，这一新数叫做虚数单位，规定：①它的平方等于-1，即；②i可与实数进行四则运

3、算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．这样，我们将数系由实数集扩充到了复数集．2．对于复数的定义，特别要抓住这一标准代数形式以及是实数这一限制条件，即在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数．3．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小．　也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．4．复数与实数、虚数、纯虚数间的关系：通过对复数代数形式中虚部与实部的限制得到实数、虚数、纯虚数．可见实数集、虚数集、纯

4、虚数集均为复数集的真子集．5．求解复数分类、两个复数相等问题时，常用待定系数法来处理．三、典例导析题型一复数的基本概念例1．下列命题中：①两个复数不能比较大小；②若，则是纯虚数；③若，则；④纯虚数集相对于复数集的补集是虚数．其中正确命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3思路导析：根据复数的有关概念，逐一判断命题的真假．解析：⑴对两个复数有可能为两个实数，此时是可以比较大小的；⑵若，则不是纯虚数；⑶此命题在实数集中成立，若，也满足此等式，但、、不一定相等；⑷复数分成两类：实数与虚数，而虚数又分成虚数与纯虚数，故纯虚数集的补集是虚数（）集和实数集，可见①②③

5、④均错误，故选A．规律总结：对于概念辨析问题，一定要抓住概念的要害处进行判断，有时借助反例来判断一个命题是假命题．【变式练习1】下列命题中正确的是：（）（A）若，且，则（B）两个虚数不能比较大小（C）若，则当且仅当时，为纯虚数（D）充要条件是．题型二复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的关系例2已知复数，求实数分别取什么值时，分别为：⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数．思路导析：根据复数为实数、虚数、纯虚数的概念，利用他们的充要条件可分别求出相应的的值．解析：⑴当为实数时，则∴故当时，为实数．⑵当为虚数时，则有∴∴，故当时，为虚数．⑶当为纯虚数时，则有∴故不存在实数使为纯虚数．

6、规律总结：对于考查复数的分类问题，要紧紧抓住各概念特征属性，建立方程组（不等式组）来求解．同时要抓住一些隐含的制约条件，如分式的分母不能为零，对数的真数要非负等等．【变式练习2】设复数，当为何值时，是：⑴实数；⑵纯虚数．题型三复数的相等例3已知，且满足，求．思路导析：根据复数相等的定义，列出方程组解出即可．解析：∵，∴解得规律总结：两个复数相等时，应分清两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．【变式练习3】已知关于实数的方程组有实数解，求实数．四、随堂练习1．下列说法中正

7、确的个数是（）①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集和虚数集的并集是复数集．（A）1（B）2（C）3（D）2．已知复数，若是纯虚数，则实数等于（）（A）2（B）1（C）0（D）3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（）（A）（B）（C）（D）4．复数的实部是______，虚部是______．5．已知下列各数：①，②，③，④，⑤．其中为纯虚数的有______，为实数的有______（请将你认为正确的数的序号填在横线上）．6．已知，求实数的值．五、课后作业1．对于复数集，实数集，虚数集，纯虚数集，下列关系正确的是（）（A）（B）（C）

8、（D）2．