2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.5向量的应用讲义苏教版必修4

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1、2.5　向量的应用学习目标核心素养(教师独具)1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学建模和数学运算核心素养.向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二

2、是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．1．思考辨析(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．(　　)[解析]　(1)可能·＝0或·＝0，故错误．(2)∥，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．(3)W＝F·s＝

3、F

4、·

5、s

6、cosθ，故错误．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知△ACB，＝a，＝b，且a·b＜0，则△AB

7、C的形状为(　　)A．钝角三角形　　B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定[答案]　A3．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体作的功为________．[答案]　4向量在物理中的应用【例1】　如图所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．思路点拨：解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[解]　如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC

8、中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.

9、

10、＝

11、

12、cos30°＝300×＝150(N)，

13、

14、＝

15、

16、sin30°＝×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．1．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2

17、)求F1，F2的合力F对质点所做的功．[解]　(1)＝(－13，－15)，W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F对质点所做的功为－102J.向量在平面几何中的应用【例2】　如图所示，在

18、正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.思路点拨：法一：选取基底，并证明·＝0.法二：建立平面直角坐标系证明·＝0.[解]　法一：设＝a，＝b，则

19、a

20、＝

21、b

22、，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－

23、a

24、2＋

25、b

26、2＝0，故⊥，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路：(1)向量的线性运算法：

27、→→→(2)向量的坐标运算法：→→→但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．2．已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.[证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)∵＝(－1,2)，＝(－2，－1)．∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF.(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－