高中数学第2章平面向量2.5向量的应用学案苏教版必修4

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1、2.5　向量的应用1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　向量的应用阅读教材P91～P92的全部内容，完成下列问题．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．(　　)【解析】　(1)可能·＝0或·＝0，故错误．(2)∥，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．(3)W＝F·

2、s＝

3、F

4、·

5、s

6、cosθ，故错误．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]向量在物理中的应用　如图251所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．图251【精彩点拨】　解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．【自主解答】　如图，作平行

7、四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.

8、

9、＝

10、

11、cos30°＝300×＝150(N)，

12、

13、＝

14、

15、sin30°＝×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．[再练一题]1．已知两恒力F1＝(3,4)

16、，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．【解】　(1)＝(－13，－15)，W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)

17、·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F对质点所做的功为－102J.向量在平面几何中的应用　如图252所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【导学号：06460066】图252【精彩点拨】　法一，选取基底，并证明·＝0.法二，建立平面直角坐标系证明·＝0.【自主解答】　法一：设＝a，＝b，则

18、a

19、＝

20、b

21、，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－

22、a

23、2＋

24、b

25、2＝0，故⊥，即AF⊥DE.法二：如图，建立

26、平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路：(1)向量的线性运算法：→→→(2)向量的坐标运算法：→→→但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．[再练一题]2．如图253，已知O为△ABC所在平面内一点，且满足

27、

28、2＋

29、

30、2＝

31、

32、2＋

33、

34、2＝

35、

36、2＋

37、

38、2，求证：O为△ABC的垂心．图253【证明】　设＝a，＝b

39、，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a，由题设：

40、

41、2＋

42、

43、2＝

44、

45、2＋

46、

47、2＝

48、

49、2＋

50、

51、2，化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得c·b＝a·c＝b·a，从而·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴⊥.同理⊥，⊥，所以O为△ABC的垂心．[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用探究1　如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的方程？【提示】　设直线l上任意一点P(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．由题意可知∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．探究2　如何利用向量求

52、经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l的方程？【提示】　设直线l上任意一点P(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．由题意可知⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6