2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.2向量的减法讲义苏教版必修4

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1、2.2.2　向量的减法学习目标核心素养(教师独具)1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点)2.掌握向量减法的几何意义．(难点)3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.向量的减法(1)向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.1．思考辨析(1)－＝.(　　)(2)若－b与a同向

2、，则a－b与a同向．(　　)(3)向量的减法不满足结合律．(　　)[解析]　(1)×.－＝；(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．化简－＋等于________．0　[－＋＝＋＝0.]3．化简－＋＋的结果等于________．　[－＋＋＝＋＋－＝＋＝.]向量减法的几何作图【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．[解]　法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．如图①所示，以A

3、为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连结CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连结DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作＝－b和＝－c；(2)作＝a，则＝a－b－c.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a

4、＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.向量减法法则的应用【例2】　(1)化简下列式子：①－－－；②(－)－(－)．(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.思路点拨：(1)充分利用减法的运算律求解．(2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．[解]　(1)①原式＝＋－(＋)＝－＝0.②(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c；＝－＝b－a，故＝＋＝b－a＋c.(

5、1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.2．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)－；(2)＋；(3)－.[解]　(1)－＝＝－，∵＝d，＝b，∴－＝d－b.(2)∵＋＝(－)＋(－)，＝a，＝b，＝c，＝f，∴＋＝b＋f－a－c.(3)－＝＝－，

6、∵＝f，＝d，∴－＝f－d.

7、a－b

8、与a，b之间的关系[探究问题]1．若a与b共线，怎样作出a－b?提示：①当a与b同向且

9、a

10、≥

11、b

12、时，在给定的直线l上作出差向量a－b：＝a，＝b，则＝a－b；②当a与b同向且

13、a

14、≤

15、b

16、时，在给定的直线l上作出差向量a－b：＝a，＝b，则＝a－b；③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：＝a，＝b，则B＝a－b.2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究

17、a－b

18、与a，b之间的大小关系？提示：当a与b不共线时，有：

19、

20、a

21、－

22、b

23、

24、＜

25、a－b

26、＜

27、a

28、＋

29、b

30、；当a与b

31、同向且

32、a

33、≥

34、b

35、时，有：

36、a－b

37、＝

38、a

39、－

40、b

41、；当a与b同向且

42、a

43、≤

44、b

45、时，有：

46、a－b

47、＝

48、b

49、－

50、a

51、.【例3】　已知

52、a

53、＝6，

54、b

55、＝8，且

56、a＋b

57、＝

58、a－b

59、，求

60、a－b

61、.思路点拨：

62、a＋b

63、＝

64、a－b

65、→判断a与b的位置关系→求

66、a－b

67、的值．[解]　如图，设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD.则＝a＋b，＝a－b，因为

68、a＋b

69、＝

70、a－b

71、，所以

72、

73、＝

74、

75、.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB中，

76、

77、＝6，

78、

79、＝8，由勾股定理得

80、

81、＝＝＝10

82、，所以

83、a－b

84、＝10.1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．3．已