2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.3向量的数乘讲义苏教版必修4

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1、2.2.3向量的数乘学习目标核心素养(教师独具)1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)λa＝λa；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．思考：λa＝0，一定能得到λ＝0吗？[提示]不一定．λa＝0则λ＝0或

2、a＝0.二、向量数乘的运算律1．λ(μa)＝(λμ)a；2．(λ＋μ)a＝λa＋μa；3．λ(a＋b)＝λa＋λb.三、向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.1．思考辨析(1)a＝0，则λa＝0.()(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．()(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．()[答案](1)√(2)√(3)√2．5×(－4a)＝________.－20a[5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.]3．a＝

3、e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________.4e1[a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.]4．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________．①a＝2e1，b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.②③[∵e1与e2不共线，∴①不正确；对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．]向量数乘的基本运算【例1】计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－

4、2a＋c)．思路点拨：利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．[解](1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝－a＋b＋a＝a＋b－a－b－a－b－a＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.－1

5、6i＋j[原式＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝(－11－5)i＋j＝－16i＋j.]向量的共线问题【例2】已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．思路点拨：对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．[解](1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e

6、1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝

7、2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．[解]＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的条件，得解得k＝－8，所以k＝－8.向量共线的有关结论[探究问题]1．已知O为平面ABC内任一点，若A，B，C三点共线，是否存在α，β∈R，使＝αO＋β，其中α＋β＝1?提示：存在，因A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.令1－λ＝α，λ＝β，则＝α＋β，且α＋β＝1.2．已知O为平面ABC内任

8、一点，若存在α，β∈R，使＝α＋β，α＋β＝1，那么A，B，C三点是否共线？提示