2018-2019高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4

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1、2.2.3　向量的数乘学习目标　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一　向量数乘的定义思考1　实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案　向量．思考2　向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案　3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．梳理　向量的数乘实

2、数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)λa(a≠0)的方向当λ＝0或a＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．知识点二　向量数乘的运算律思考　类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案　结合律，分配律．梳理　向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三　向量共线定理思考　若b与非零向量a共线，是否存在λ满足b＝λa？若b与向量a共线呢？答案　若b与非零向量a共

9、线，存在λ满足b＝λa；若b与向量a共线，当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.梳理　(1)向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)11是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.1．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　×　)提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．2

10、．若b＝λa，则a与b共线．(　√　)提示　由向量共线定理可知其正确．3．若λa＝0，则a＝0.(　×　)提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.类型一　向量数乘的基本运算例1　(1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．解　[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]＝(4a＋8b－20a＋8b)＝(－16a＋16b)＝－4a＋4b.(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.解　由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋

11、2b)－2y＝a，所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.反思与感悟　(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1　(1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.11解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a－8a)＋(b＋3b)＝－10a＋4b.(2)若

12、2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________________.答案　a－b＋c解析　因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.类型二　向量共线的判定及应用例2　已知非零向量e1，e2不共线．(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．(1)解　∵b＝6a，∴a与b共线．(2)证明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－

13、3e2＝5(e1＋e2)＝5.∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．反思与感悟　(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．跟踪训练2　已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．答案　A，B，D解析　

14、∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．11例3　已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值．解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.反思与感悟　利用向量