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《2019_2020学年高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系讲义新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.5 柱坐标系和球坐标系1.5.1 柱坐标系1.5.2 球坐标系学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)1．柱坐标系(1)柱坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图151所示，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数．(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点M(x，y，
2、z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为.2．球坐标系(1)球坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.如图所示，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标．若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为.思考1：
3、要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？[提示] 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．思考2：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？[提示] 柱坐标系中，ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面．1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为( )A．(2,0,3) B．(2，，0)C．(，，3)D．(，，0)[解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B.[答案] B2．
4、已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析] x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.[答案] B3．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是( )A．(2，，3)B．(2，，3)C．(2，，3)D．(2，，3)[解析] ∵ρ＝＝2，tanθ＝＝，∴θ＝或π.又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－，∴排除θ＝，∴θ＝π.∴M的柱坐标为(2，，3)．[答案] C4．设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为( )A．(，，0
5、)B．(，，)C．(2，，0)D．(2,0，)[解析] 由坐标变换公式，得r＝＝，cosφ＝＝0，∴φ＝.∵tanθ＝＝1，∴θ＝π.[答案] B点的柱坐标与直角坐标互化【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标．[思路探究] 已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可．[解] 设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则有解之得，ρ＝，θ＝.因此，点M的柱坐标为(，，1)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝，求θ，在求θ的时
6、候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，，3)；(2)(，，5)．[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，，3)，∴因此所求点的直角坐标为(－，1,3)．(2)∵(ρ，θ，z)＝(，，5)，∴故所求点的直角坐标为(1,1,5)．将点的球坐标化为直角坐标【例2】 已知点M的球坐标为(2，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究] [解] 设点的直角坐标为(x，y，z)．∵(r，θ，φ)＝(2，π，π)，∴x＝2sinπcosπ＝2××(－)＝－1，y＝2sinπsinπ＝2××＝
7、1，z＝2cosπ＝2×(－)＝－.因此点M的直角坐标为(－1,1，－)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，θ，φ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算．2．若“例2”中点M的球坐标改为M(3，，)，试求点M的直角坐标．[解] 设M的直角坐标为(x，y，z)．∵(r，θ，φ)＝(3，，)，x＝rsinφcosθ＝3sincos＝，y＝rsinφsinθ＝3sinsin＝－，z
8、＝rcosφ＝3cos＝－.∴点M的直角坐标为(，－
