变量与函数经典例题

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1、例1、下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系，判断y是x的函数吗？如果不是，说明出理由.1234536912151234571181215123212510-5-21234599999解：（1）y是x的函数；（2）y是x的函数；（3）y不是x的函数，因为对于变量x=1，变量y有1与-1两个值与它对应；（4）y是x的函数说明：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义.例2、判断下列关系是不是函数关系？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）

2、关系式

3、y

4、=x中的y与x.分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年

5、龄与身高是函数关系.（4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以

6、y

7、=x不是函数关系.说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.解：得于

8、是汽车距沈阳的路程S与时间t的函数关系式为，自变量t的取值范围是例4、求下列函数中自变量x的取值范围：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负.解：（1）函数的自变量x的取值范围是躯

9、体实数（2）函数的自变量x的取值范围是躯体实数（3）当时，分母，函数的自变量的取值范围是；（4）由解得当或时，分母，函数的自变量x的取值范围是且（5）由解得，函数的自变量x的取值范围是；（6）由得，由得，当时，分母，函数的自变量x的取值范围是且；（7）即对于任意实数x，都是非负的，函数的自变量x的取值范围是全体实数；（8）由得因此，函数的自变量x的取值范围是.典型例题五例已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）分析：由于题中所经

10、过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：（1）若经过A、B两点的函数的图象是直线，设其解析式为，则有解之，得此时，函数解析式为（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A、B两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：.（3）如果经过A、B两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为（），则有解之，得因此，只要、、同时满足关系式和，即可保证二次函数（）的图象经过A(1,

11、4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数个.如取=1，则有=-5，=8，相应图象所对应的二次函数的解析式为：.（4）其他略.典型例题六例（北京市海淀区，1999）如图，在矩形中，是边上与点不重合的动点，过点直线交的延长线于，交于（与不重合），且。设，梯形的面积为，求与之间的函数关系，并求自变量的取值范围。解在矩形中，，。∵，∴∴∵∴∵∥，∴。∴∴∵∴当与重合时，∵与不重合，与不重合，∴自变量的取值范围是典型例题七例下列函数中与y=3x表示同一函数的是（）（1）（2）（3）（4）（5）分析：只有对应关系相同，自变量的取值范围

12、相同，函数值的取值范围也相同的函数才是同一函数.解：（1）与y=3x的对应关系不同，所以它们不是同一函数.（2）中x不能取0，而y=3x中x可取任意实数，因此，自变量的取值范围不同，它们不是同一函数.（3）中x的取值范围是非负数，所以