对数与对数函数经典例题

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1、高一数学函数的单调性、奇偶性经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用　　1．将下列指数式与对数式互化：　　(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).　　思路点拨：运用对数的定义进行互化.　　解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；　　　　(6).　　总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：　　(1)(2)(3)lg100=x(4)　　思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.　　解：(1)；　　　　(2)；　　　　(3)10

2、x=100=102，于是x=2；　　　　(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值　　2．求值：　解：.　　总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：　　【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)　　思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.　　解：.类型三、积、商、幂的对数　　3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.10高一数学函数的单调性、奇偶性　　(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15　　解：(1)原式=lg32=2lg

3、3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a　　　　(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b　　　　(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：　　【变式1】求值　　(1)　　(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2　　解：　　(1)　　　　　(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1　　(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2

4、)2　　　　　=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.　　【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.　　解：由3a=c得：　　　　同理可得　　　　.　　【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.　　证明：　　　　　　　　.　　【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0.求证：.　　证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，　　　　　∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+l

5、gb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb10高一数学函数的单调性、奇偶性　　　　　即.类型四、换底公式的运用　　4．(1)已知logxy=a，用a表示；　　　　　　(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.　　解：(1)原式=；　　　　(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.　　方法一：am=x，bn=x，cp=x　　　　　　∴，　　　　　　∴；　　方法二：.　　举一反三：　　【变式1】求值：(1)；(2)；(3).　　解：　　(1)　　　(2)；　　(3)法一：　　　法二：.　　总结升华：运用换底公式时，理论

6、上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.10高一数学函数的单调性、奇偶性类型五、对数运算法则的应用　　5．求值　　(1)log89·log2732　　(2)　　(3)　　(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　解：(1)原式=.　　　　(2)原式=　　　　(3)原式=　　　　(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　　　　　　　　举一反三：　　【变式1】求值：　　

7、解：　　另解：设=m(m>0).∴，　　　　　∴，∴，　　　　　∴lg2=lgm，∴2=m，即.　　【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?　　解：∵∴，10高一数学函数的单调性、奇偶性　　　　类型六、函数的定义域、值域　　求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.　　6.求下列函数的定义域：　　(1)；(2).　　思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.　　解：(1)因为x2>0

8、，即x≠0，所以函数；　　　　(2)因为4-x>0，