对数与对数函数经典例题

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1、高一数学函数的单调性、奇偶性经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用  1.将下列指数式与对数式互化:  (1);(2);(3);(4);(5);(6).  思路点拨:运用对数的定义进行互化.  解:(1);(2);(3);(4);(5);    (6).  总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三:【变式1】求下列各式中x的值:  (1)(2)(3)lg100=x(4)  思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.  解:(1);    (2);    (3)10

2、x=100=102,于是x=2;    (4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值  2.求值: 解:.  总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.举一反三:  【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)  思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.  解:.类型三、积、商、幂的对数  3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.10高一数学函数的单调性、奇偶性  (1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15  解:(1)原式=lg32=2lg

3、3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a    (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b    (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三:  【变式1】求值  (1)  (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2  解:  (1)     (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1  (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2

4、)2     =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.  【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值.  解:由3a=c得:    同理可得    .  【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:.  证明:        .  【变式4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0.求证:.  证明:∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),     ∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+l

5、gb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb10高一数学函数的单调性、奇偶性     即.类型四、换底公式的运用  4.(1)已知logxy=a,用a表示;      (2)已知logax=m,logbx=n,logcx=p,求logabcx.  解:(1)原式=;    (2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.  方法一:am=x,bn=x,cp=x      ∴,      ∴;  方法二:.  举一反三:  【变式1】求值:(1);(2);(3).  解:  (1)   (2);  (3)法一:   法二:.  总结升华:运用换底公式时,理论

6、上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可.10高一数学函数的单调性、奇偶性类型五、对数运算法则的应用  5.求值  (1)log89·log2732  (2)  (3)  (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)  解:(1)原式=.    (2)原式=    (3)原式=    (4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)         举一反三:  【变式1】求值:  

7、解:  另解:设=m(m>0).∴,     ∴,∴,     ∴lg2=lgm,∴2=m,即.  【变式2】已知:log23=a,log37=b,求:log4256=?  解:∵∴,10高一数学函数的单调性、奇偶性    类型六、函数的定义域、值域  求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.  6.求下列函数的定义域:  (1);(2).  思路点拨:由对数函数的定义知:x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域.  解:(1)因为x2>0

8、,即x≠0,所以函数;    (2)因为4-x>0,

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