2008年考研数学三真题及答案

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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x∫f()tdt0（1）设函数f()x在区间[1−,1]上连续，则x=0是函数gx()=的（）x()A跳跃间断点(B)可去间断点()C无穷间断点(D)振荡间断点22fuv()+22222（2）设f连续且可导，xy+=1，x+yu=，u>1，则Fuv(),=∫∫dudv，22Duv+∂F则=（）∂u22()Avfu′()(B)

2、ufu′()22()Cvfv′()(D)ufv′()24x+y（3）设fxye(,)=,则函数在原点偏导数存在的情况是()()Affxy′′(0,0)存在,(0,0)存在(B)ffxy′(0,0)存在,′(0,0)不存在()Cffxy′′(0,0)不存在,(0,0)存在(D)ffxy′(0,0)不存在,′(0,0)不存在22fxy()+∂F（4）设函数f连续，若f(,)uv=dxdy，其中D为图中阴影部分，则=∫∫22uvDxy+∂uuv（）2v2v（A）vfu()（B）f()u（C）vfu()（

3、D）f()uuu3（5）设A为阶非0矩阵E为阶单位矩阵若A=0，则（）()AEA−不可逆，EA+不可逆(B)EA−不可逆，EA+可逆()CEA−可逆，EA+可逆(D)EA−可逆，EA+不可逆⎛⎞12（6）设A=⎜⎟,则在实数域上域与A合同矩阵为（）⎝⎠21⎛⎞−21⎛⎞21−()A⎜⎟.(B)⎜⎟.⎝⎠12−⎝⎠−12⎛⎞21⎛⎞12−()C⎜⎟.(D)⎜⎟.⎝⎠12⎝⎠−21（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F(x)，则Z=max{XY,}分布函数为（）2()AF(x)(B)F(xFy

4、)()2()C11−−⎡⎣Fx()⎤⎦(D)⎡⎣11−−Fx()⎤⎡⎦⎣Fy()⎤⎦.（8）随机变量XN∼()0,1，YN∼(1,4),且相关系数ρ=1，则（）XY()APY{=−−=21X}1(B)PY{=21X−=}1()CPY{=−+=21X}1(D)PY{=21X+=}1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.2⎧x+≤1,xc⎪（9）设函数fx()=⎨2在(,−∞+∞)内连续，则c=.,x>c⎪⎩x3⎛⎞1x+x22（10）函数fx⎜⎟+=，求积分f

5、()xdx=.⎝⎠x1+x4∫2222（11）∫∫()x−=ydxdy，其中Dxy:1+≤.D（12）微分方程xy′+y=0,(1)1,y=求方程的特解y=.−1（13）设3阶矩阵A的特征值1，2，2，E为三阶单位矩阵，则4A−E=.2（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PXEX{=}=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）1sinx求极限limln.2x→0xx(16)（本题满分10分）2

6、2设z=z（x,y）是由方程x+yzxyz−=ϕ(++)所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且ϕ′≠−1时，（1）求dz.1⎛⎞∂∂zz∂u（2）记uxy(),=−⎜⎟，求.x−∂∂yxy⎝⎠∂x(17)（本题满分11分）求二重积分∫∫max(xydxdy,1),其中Dx={(,)0yx≤≤≤≤2,0y2}.D(18)（本题满分10分）f()x是周期为2的连续函数，t+22（1）证明对任意实数都有∫∫f()xdx=fxdx().t0xt+2（2）证明gx()=−⎡2ft()fsdsdt()⎤是周期为2

7、的周期函数．∫∫0⎢⎣⎦t⎥(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05，并以年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年取出28万元，…第n年取出10+9n万元，问A至少为多少时，可以一直取下去？(20)（本题满分11分）⎛⎞21a⎜⎟2aa2%设矩阵A=⎜⎟，现矩阵A满足方程AXB=，其中⎜⎟%%1⎜⎟2⎝⎠aa2nn×TX=()xx1,,"n，B=()1,0,",0，n（1）求证A=+()na1.（2）为何值，方程组有唯一解a.（3）a为何值，方程组有无穷多

8、解.（21）（本题满分11分）设A为3阶矩阵，aa,为A的分别属于特征值−1,1特征向量，向量a满足123Aa=+aa，323证明（1）aaa,,线性无关；123−1（2）令Paaa=(),,，求PAP.123（22）（本题满分11分）1设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为PXi{}===−(i1,0,1)，Y的概率密3⎧10≤≤y1度为fy()=⎨，记Z=XY+.Y⎩0其它⎧⎫1（1）求PZ⎨⎬≤X=0⎩⎭2（2）求Z的概率密度．（23）（本题满分11分）n21X12,,,XX