高中数学第三章3.3.1利用导数判断函数的单调性课后导练新人教选修

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1、3.3.1利用导数判断函数的单调性课后导练基础达标1.已知f(x)=x2+2xf′(-1)，则f′(0)等于…(　　)A.0B.+4C.-2D.2解析：f′(x)=2x+2f′(-1)，可令x=1,则f′(-1)=+2,∴f(x)=x2+4x.∴f′(0)=+4.答案：B2.设f(x)在(a,b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的________条件(　　)A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：A3.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数

2、，则(　　)A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac<0解析：f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立.因为a>0,则Δ=4b2-4·3ac<0,即b2-3ac<0.答案：D4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数(　　)A.B.(π,2π)C.D.(2π,3π)解（直接法）：y′=-xsinx,令y′>0,则x>0时，sinx<0,∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k≥0);x<0时，sinx>0,则x∈(2kπ,(2k+1)π)(k<0),结合题目

3、知应选B.答案：B5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是(　　)A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1］C.(0,1)D.(0,1］解法一(直接法)：g′(x)=,f(x)=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在［1,2］上为减函数，则有a≤1.再由条件知g′(x)=<0,∴a>0.综上，0

4、g(x)=-,在［1，2］上为增函数，排除B，故选D.答案：D6.函数f(x)=ln(3x-b)(b>0)的增区间为__________.答案：(,+∞)7.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是__________.解析：f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数，∴f′(x)>0在R上恒成立，即3x2+2x+m>0.由Δ=4-4×3m<0,得m>.答案：m>8.若函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调减区间是(0，3)，则m=_________

5、_.解析：f′(x)=3x2-2mx,∵f(x)的递减区间是(0，3)，∴0，3是3x2-2mx=0的根，∴0+3=,∴m=.答案：9.已知曲线y=x3+3x2+6x-10，点P(x,y)在该曲线上移动，过P的切线设为l.(1)求证：此函数在R上单调递增；(2)求l的斜率的范围.答案：(1)证明：y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立.所以函数在R上递增.(2)解：由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,所以l的斜率的范围是k≥3.10.(2004全国高考Ⅱ

6、，文19)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.解：f′(x)=3ax2+6x-1.(1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数.(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f

7、′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］.综合运用11.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)>0且有f(2a2+a+1)0∴f(x)在(-∞，0)上为增函数又f(x)为偶函数∴f(x)在(0，+∞)上为减函数且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1)∴原不等式可化为f(2a2+a+1)03a

8、2-2a+1>0恒成立∴2a2+a+1>3a2-2a+1解得00,则f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间，与原条件矛盾，若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a<0,f′(x)=3a·(x+)(x-),综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间