2、=”),∴容器容积的最大值是a3.答案:B3用长度分别为2,3,4,5,6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()A.cm2B.cm2C.cm2D.20cm2解析:令p=,则p=10.由海伦公式S=知S==<20<.由于等号成立的条件为10-a=10-b=10-c,故“=”不成立,∴S<20<.排除C,D.由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,面积为,故选B.答案:B4已知a,b
3、,c∈R+,求证:(1)()()≥9;(2)(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.证明:运用均值不等式得(1)()（）=9;(2)(a+b+c)(a2+b2+c2)≥=9abc.5设00,且p3+q3=2,求证:p+q≤2.证明:∵p,q>0,∴p·1·1≤,q·1·1≤.∴p+q≤=2.
4、∴原不等式成立.7制造一个能盛放108千克的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省?解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.设长方体的长,宽为a,b(分米),高为h(分米),易知该水箱的容积为108立方分米,即abh=108,设该水箱的用料面积为S,则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh≥=108,即S≥108(平方分米)(当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,取“=”).∴水箱的底面是边长为6分米的正方形,高为3分米时,用料最省.8如果a,b,c∈R+,求证:3(
5、)≥2().证明:直接运用均值不等式可得,,也只能得到≥0,≥0,尚不能证出3()≥2(),因此应该对结论式进行分析,变形,寻找突破口.3()≥2()c+≥.①考虑到①式右边的特点,可联想到应用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数,但①式左边形式上是两个数相加,因此把它变为三个数相加,即c+=c++≥=.∴3()≥2().9设a,b,c>0,求证:(a+b+c)(+)>27.证明:∵a>0,b>0,c>0,∴,即a+b+c≥3·.①同理,+≥3·.②又①②式中的“=”成立的条件不同,即“=”不同时成立,∴
6、①×②,得(a+b+c)(+)>3··3·=27,即(a+b+c)(+)>27.拓展探究10试利用≥ab(a,b>0),证明≥(a,b,c>0).证法一:∵a,b,c>0,∴a+b≥,c+≥2,∴a+b+c++=.故a+b+c≥3·,即,其中等号当且仅当a=b,c=且=,即a=b=c时成立.证法二:设A=,由a,b,c>0,得A>0,且a+b+c=3A,于是A=∴A4≥abcA,A≥,即,等号当且仅当a=b,c=A,且,即a=b=c时成立.备选习题11甲,乙两人同时从A地出发走向B地,甲先用的时间以速度p行
7、走,再用的时间以速度q行走,最后用的时间用速度r行走;乙在前的路程用速度p行走,中f间的路程用速度q行走,最后的路程用速度r行走(p≠q≠r).问甲,乙两人谁先到达B地,为什么?解析:设A,B两地间的距离为s(s>0).甲从A地到B地所用的时间为t1,乙从A地到B地所用时间为t2,由题意,得s=p·+q·+r·,得t1=,而t2=÷p+÷q+÷r=().由均值不等式,得t2>>=t1(∵p≠q≠r,∴“=”不成立).∴t10,由不等式x+≥2,x+≥3,……启发我们可以得
8、出以下结论:x+≥n+1(n∈N*),则a=_____________.解析:x+==(n+1)·=n+1,故a=nn.答案:nn13已知实数x,y满足:xy>0且x2y=2,则xy+x2的最小值应是__________,取最小值时x=__________,y=__________.解析:xy+x2=xy+xy+x2≥3·=3,∴xy+x2的最小值为3,此时x=1,y=2.答案:31214已知x>y>0,求证:x
