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《高中数学第一1.1.6三个正数的算术_几何平均不等式2课堂导学案新人教选修.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1.6三个正数的算术—几何平均不等式（2）课堂导学三点剖析一、在求最值时,要注意“一正”“二定”“三相等”【例1】一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的菜园,问这个矩形长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大值是多少?错解：设矩形的宽为xm,长为(l-2x)m,则S=x(l-2x)≤,当且仅当x=l-2x时等号成立,所以令x=l-2x,解之,得x=.∴S=.此时,l-2x=,∴当长和宽都为m时矩形的面积最大,最大面积是m2.正解一：设矩形的宽为xm,长为(l-2x)m,则S=x(l-2x)=［)］2=［］2≤,当且仅当2x=l-2x,即x=时
2、“=”成立,∴当宽为m,长为m时面积最大,最大面积为l2m2.正解二：(设法同解法一)S=x(l-2x)=·2x(l-2x),∵2x+l-2x=l,∴S=·2x·(l-2x)≤·l2=l2,当且仅当2x=l-2x时等号成立,此时x=l.∴当宽为,长为时面积最大,最大面积为m2.类题演练1(1)求函数y=cosx-的最值;(2)求函数f(x)=2x(x-1)(8-3x)的最大值,其中x∈(1,).(1)错解:设cosx-=t,则y=t+.∴ymin=.正确解法:设cosx-=t,显然t<0,则y=-(-t+)≤,∴ymax=.(2)错解:∵x∈
3、(1,),则2x>0,x-1>0,8-3x>0.从而f(x)=［］3≤［］3=,∴f(x)max=.正确解法:f(x)=8［)］3≤8［］3=8,∴当x=2时,f(x)max=8.变式提升1求y=(sin2x+)+(cos2x+)的最小值.错解:∵sin2x>0,且有sin2x+≥2,同理可得cos2x+≥2.∴y=(sin2x+)+(cos2x+)≥4.∴ymin=4.正确解法:y=(sin2x+)+(cos2x+)=1+,∴当x=(k∈Z)时有ymin=5.二、利用均值不等式求最值的典型技巧和方法【例2】设a、b、x、y∈R+,a、b为常
4、数,且=1,求x+y的最小值.错解：∵x+y=(x+y)·,∴(x+y)min=.错因分析:x+y≥中等号成立的条件是x=y,≥中等号成立的条件是,而=1,∴x=2a,y=2b.此时a不一定等于b,故上述解法有误.正解一:(消元法)∵=1,∴y=且x>a.∴x+y=x+=x+=x+b+=x-a++a+b≥+a+b=(+)2.正解二:(妙用“1”)x+y=(x+y)()=a++b≥a+b+=(+)2.正解三:(三角代换)令=cos2θ,=sin2θ,则x+y=asec2θ+bcsc2θ=a(1+tan2θ)+b(1+cot2θ)=a+b+ata
5、n2θ+bcot2θ≥a+b+=()2.上述三种解法均可得出当且仅当x=+a,y=+b时取等号,故(x+y)min=()2.温馨提示本例中,在求最值时用到了多种技巧:把两个变量的表达式通过消元化为一元函数;利用“1”的代换;利用三角换元等.类题演练2已知m2+n2=a,x2+y2=b,求mx+ny的最大值.错解:∵mx≤,①ny≤,②∴mx+ny≤.③∴mx+ny的最大值为.正解:∵mx=·,①ny=,②∴mx+ny≤③当且仅当①②中“=”同时成立时,③中“=”成立,即且时,mx+ny有最大值.变式提升2(经典回放)用总长为14.8m的钢条制
6、造一个长方体容器的框架,若所制容器底面一边比另一边长0.5m,那么高为多少时,容器容积最大?解析:设长方体底面一边长为x,另一边长为x+0.5,高为y,则4x+4(x+0.5)+4y=14.8,∴y=3.2-2x,则V=x(x+0.5)(3.2-2x).引进正参数u1、u2,则V=(u1x)［u2(x+0.5)］+(3.2-2x),必须满足u1x+u2(x+0.5)+3.2-2x为常数,即(u1+u2-2)x+0.5u2+3.2是常数,即u1+u2=2,①且u1x=u2(x+0.5)=3.2-2x.②由①②知u1=1.2,u2=0.8,∴V=
7、×(1.2x)×0.8(x+0.5)×(3.2-2x)≤=1.8.等号成立时,1.2x=0.8(x+0.5)=3.2-2x,即x=1,此时高为1.2m,容器容积最大.三、利用均值不等式处理其他问题的技巧【例3】求证:sin2αcos2α+.思路分析：左式=sin22α+,若利用均值不等式得左式≥2,必须sin22α=16时“=”成立,这是不可能的.同时,由于2<,也达不到证明的目的.但如果把换成,“=”就能取到,这就找到了“凑式”的思路.证明:左式=sin22α+当且仅当sin22α=且sin22α=1,即sin2α=±1时,取“=”.∴原不
8、等式成立.温馨提示“配项凑式”是利用均值不等式的典型技巧,在求y=x+(a>0,x∈R+)的最小值时,如果x=R+时无法直接用均值不等式求最值,这时可用本例中的方法
