高中数学第一1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式自主训练新人教选修

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1、1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式自主广场我夯基我达标1.若x>0，则4x+的最小值是（）A.9B.C.13D.不存在思路解析：因为x>0,所以4x+=2x+2x+≥，当且仅当2x=,即x=时等号成立.答案：B2.若实数x,y满足xy>0，且x2y=2,则xy+x2的最小值是（）A.1B.2C.3D.4思路解析：xy+x2=2xy+xy+x2≥=1.答案：A3.已知a,b∈R+，则(++)(++)≥____________.思路解析：(++)(++)=3+≥3+=9.答案：94.设a,b,c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c

2、)+ca(c+a)≥6abc.证明：左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥=6abc.∴a、b、c∈R+,∴原式成立.5.如果a,b∈R+，且a≠b,求证：a3+b3>a2b+ab2.证明：∵a、b∈R+,且a≠b,则a3+b3=［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］>(）=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.6.求函数y=4sin2x-cosx的最值.解：∵y2=16sin2xsin2x·cos2x,=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×.∴y2≤,当且仅当sin2x=2c

3、os2x,即tanx=±时取“=”号.∴y大=,y小=。7.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.则(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.①又(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤［］6=()6=,这与①矛盾.∴假设不成立.即原结论正确.8.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：≥4.证明：=4.当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.我综合我发展9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为__

4、_________.思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则4r+2h=l,v=πr2h≤π()3=π()3当且仅当r=h=时取“=”号.答案：10.已知x∈R+，有不等式x+≥2,x+≥3,…,由此启发我们可以推广为：x+≥n+1(n∈N+).则a=__________.思路解析：从n=1,n=2,…归纳得出：x+≥n+1.答案：nn11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是___________.思路解析：a+(b*c)=(a

5、+b)*(a+c),∵a+(b*c)=a+,①又∵(a+b)*(a+c)=,②由①②，可知a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)12.若a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求证：.证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a).∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］·()≥=9.∴原式得证.13.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四面分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积

6、为多少？解：设正方形的边长为xcm.V=x(60-2x)2=·4x(60-2x)(60-2x)≤()3=16000.当4x=60-2x即x=10时取等号.∴小正方形的边长为10cm时，最大容积为16000cm3.14.已知矩形ABCD的两个顶点A、B在函数y=-2(x-1)2+4(0≤x≤2)的图象上，另两个顶点C、D在x轴上，求这个矩形面积的最大值.解：设A(x0,y0),且不妨设x0>1,则矩形ABCD的面积S=

7、AB

8、·

9、AD

10、=2(x0-1)y0.∵y0=-2(x0-1)2+4且1

11、)=4(x0-1)［2-(x0-1)2］=≤.当且仅当2(x0-1)2=2-(x0-1)2,即x0=1+时，取“=”号.∴矩形ABCD的面积的最大值为.