高中数学第一1.1.3三个正数的算术几何平均不等式自我小测新人教选修

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1、1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式自我小测1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若，则必有(　　)．A．0≤M＜B．≤M＜1C．1≤M＜8D．M≥82．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)．A．B．C．12D．3．设，则函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________．4．设x＞0，则≥__________.5．已知0＜x＜4.5，则x2(9－2x)的最大值是__________．6．已知圆柱的体积V是定值，问圆柱的底半径r和高h各是多少时，圆柱的全面积S最小？并求S的最小值．7．若a＞b＞0，求的最小值．8．甲、乙两人同时沿同一路线从A地

2、出发走向B地，甲先用的时间以速度p行走，再用的时间以速度q行走，最后用的时间以速度r行走；乙在前的路程用速度p行走，中间的路程用速度q行走，最后的路程用速度r行走(p，q，r均不相等)，问甲、乙两人谁先到达B地，为什么？9.已知a，b，c均为正数，证明，并确定a，b，c为何值时，等号成立．参考答案1.答案：D解析：，当且仅当时等号成立．2.答案：C解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，时，等号成立．3.答案：解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·

3、sin2x·2cos2x)≤，∴，当且仅当sin2x＝2cos2x，即时，等号成立．∴.4.答案：3解析：∵x＞0，∴.当且仅当，即x＝1时等号成立．∴.5.答案：27解析：由题可知x2(9－2x)＝x·x·(9－2x)．因为0＜x＜4.5，所以9－2x＞0.所以，即，即x2(9－2x)≤27.当且仅当x＝9－2x，即x＝3时，等号成立．因此，当x＝3时，x2(9－2x)有最大值是27.6.解：πr2h＝V，S＝2πr2＋2πrh，当且仅当，即h＝2r时，等号成立．即，时，.7.解：∵，当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立，∴的最小值为3.8.解：设A，B两地间的距离为s(s＞0)，

4、甲从A到B所用的时间为t1，乙从A到B所用的时间为t2，由题意得，∴，．∴．∵p，q，r均不相等，∴等号不成立．∴t1＜t2，甲先到B地．9.证法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①，所以.②故.又，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．故当且仅当时，原不等式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理，.②故≥ab＋bc＋ac＋.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式

5、和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．故当且仅当时，原不等式等号成立．