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《高中数学2.4空间直角坐标系课堂探究新人教B版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4空间直角坐标系堂探究探究一 空间中点的坐标1．过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标．2．构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．3．若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．【典型例题1】已知一个长方体的长、宽、高分别为5,3,4，试建立适当的空间直角坐标系，写出长方体的各个顶点的坐标．思路分析：可以以长方体的一个顶点为
2、原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为原点．解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.易知
3、AB
4、＝3，
5、BC
6、＝5，
7、AA1
8、＝4，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,5,0)，A1(0,0,4)，C(3,5,0)，D1(0,5,4)，B1(3,0,4)，C1(3,5,4)．点评 建立坐标系的原则是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单．探究二 空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，
9、则有如下对称规律：点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)；点P关于x轴的对称点是P2(x，－y，－z)；点P关于y轴的对称点是P3(－x，y，－z)；点P关于z轴的对称点是P4(－x，－y，z)；点P关于坐标平面xOy的对称点是P5(x，y，－z)；点P关于坐标平面yOz的对称点是P6(－x，y，z)；点P关于坐标平面xOz的对称点是P7(x，－y，z)．【典型例题2】(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )Ａ.(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4) C．(2，－1,4)
10、 D．(2,1，－4)解析：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．答案：B(2)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )Ａ.(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4) C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)解析：由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．答案：A探究三 空间两点的距离公式的应用求空间两点间的距离的
11、步骤：【典型例题3】(1)若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )Ａ.4B．2C．4D．3解析：
12、AB
13、＝＝4.答案：A(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，
14、AB
15、=
16、BC
17、=2，
18、D1D
19、=3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．①写出点D，N，M的坐标；②求线段MD，MN的长度．解：①因为D是原点，则D(0,0,0)．由
20、AB
21、=
22、BC
23、=2，
24、D1D
25、=3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．因为N是AB
26、的中点，所以N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．②由两点间的距离公式，得
27、MD
28、=＝，
29、MN
30、==.探究四 空间中点坐标公式的应用平面上的中点坐标公式可推广到空间，即设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.大家对数轴上的中点公式，平面上的中点公式及空间中的中点公式进行对比，以加深理解．【典型例题4】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标是( )Ａ.(0,0,0)B．(2，－1，－4) C．(6，－3，－12)D．(－2,3,12)解析：设对称点为P3
31、，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．答案：C探究五 易错辨析易错点：因忽视动点M所处的范围而致误【典型例题5】已知点A(1,2,3)，B(3，－1，－2)，且
32、MA
33、＝
34、MB
35、，求动点M的轨迹方程．错解：设M(x，y，z)，依题意得，(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝(x－3)2＋(y＋1)2＋(z＋2)2，整理得2x－3y－5z＝0.所以动点M的轨迹方程为2x－3y－5
36、z＝0，轨迹是线段AB的垂直平分线．错因分析：把平面几何中的结论硬套在空间几何中了，实际上满足
37、MA
38、＝
39、MB
40、的动点M在空间中的轨迹是线段AB的垂直平分面．注意范围的改变．正解：设M(x，y，z)，依题意，得(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝(x－3)2＋(y＋1)2＋(z＋2)
