高中数学 2.4 空间直角坐标系学案 新人教b版必修2

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1、2.4　空间直角坐标系1．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式，并能在具体问题中正确应用．1．空间直角坐标系的建立为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都______，这样它们中的任意两条都互相垂直．轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿____时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点．每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面，三个坐标平面

2、把空间分成八个卦限，如图所示．______平面：由x轴及y轴确定的坐标面；______平面：由x轴及z轴确定的坐标面；______平面：由y轴及z轴确定的坐标面．2．点在空间直角坐标系中的坐标取定了空间直角坐标系后，就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．点M为空间一已知点，在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的________，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是点M相应的一个______．设点M在x轴，y轴，z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，记为_

3、_______，并依次称x，y和z为点M的x坐标、y坐标和z坐标．反之，设(x，y，z)为一个三元有序数组，过x轴上坐标为x的点，y轴上坐标为y的点，z轴上坐标为z的点，分别作x轴，y轴，z轴的________，这三个平面的交点M便是三元有序数组(x，y，z)唯一确定的____．所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点：Ⅰ：(＋，＋，＋)；Ⅱ：(－，＋，＋)；Ⅲ：(－，－，＋)；Ⅳ：(＋，－，＋)；Ⅴ：(＋，＋，－)；Ⅵ：(－，＋，－)；Ⅶ：(－，－，－)；Ⅷ：(＋，－，－)．坐标轴及坐标平面

4、上点的坐标形式点的位置坐标形式xOy平面(x，y,0)xOz平面(x,0，z)yOz平面(0，y，z)x轴(x,0,0)y轴(0，y,0)z轴(0,0，z)【做一做1】若半径为r的球在第Ⅴ卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是(　　)．A．(r，r，r)B．(r，r，－r)C．(－r，－r，r)D．(r，－r，r)3．空间两点的距离公式空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广，如图．M1(x1，y1，z1)，P(x2，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，N(x2，y2，z1)，

5、M1P

6、＝__________，

7、PN

8、＝__________，

9、M2N

10、＝___

11、_______，

12、M1N

13、2＝

14、M1P

15、2＋

16、PN

17、2＝____________，

18、M1M2

19、2＝

20、M1N

21、2＋

22、NM2

23、2＝______________.∴点M1与M2间的距离为d(M1，M2)＝____________________________.应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和再开方．特别地，点M(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，M)＝__________.【做一做2】求下列两点间的距离：(1)A(1,1,0)，B(1,1,1)；(2)C(－3,1,5)，D(0，－2,3)．求空间一点A(x，y，z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标

24、．剖析：对称点坐标问题，无非就是中点与垂直问题．空间点关于已知点的对称点，与平面内点关于点的对称点定义一样，已知点与其对称点连接线段的中点即为对称中心；空间点关于已知直线的对称点，与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样，已知点与其对称点连接线段被对称轴垂直平分；空间点与其关于已知平面的对称点的连接线段垂直于平面，且中点在平面内．A(x，y，z)关于坐标平面xOy的对称点A1(x，y，－z)；A(x，y，z)关于坐标平面yOz的对称点A2(－x，y，z)；A(x，y，z)关于坐标平面xOz的对称点A3(x，－y，z)；A(x，y，z)关于x轴的对称点A4(x，－y，－z)；A(x，

25、y，z)关于y轴的对称点A5(－x，y，－z)；A(x，y，z)关于z轴的对称点A6(－x，－y，z)；A(x，y，z)关于原点的对称点A7(－x，－y，－z)．题型一空间点的坐标【例1】已知一个长方体的长、宽、高分别为5,4,3，试建立适当的空间直角坐标系，将长方体的各个顶点表示出来．分析：可以以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为原点．反思：建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单．题型二空间