线性代数(A)试题(A卷)

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1、武汉理工大学考试试题纸（A卷）课程名称线性代数专业班级2005级本科题号一二三四五六七八九十总分题分121240121212100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一．单项选择题（每小题3分，共12分）1.设均为阶矩阵，且，则必有____________；(A)(B)(C)(D)2.设向量组线性无关,向量组线性相关,则以下命题中成立的是____________；(A)一定能由线性表示(B)一定能由线性表示(C)一定能由线性表示(D)一定能由线性表示3.设是三元线性方程组的两个不同的解，

2、且，则的通解为____________；(A)+(B)(C)(D)4.已知是矩阵的特征向量，则____________；(A)1或2(B)-1或-2(C)-1或2(D)1或-2二．填空题（每小题3分，共12分）1.＝____________；2.如果A是3阶可逆矩阵，互换A的第一、第二行，得矩阵B,且，则=____________；3.设向量若线性相关，则=____________；4.已知3阶方阵A的特征值为1、-1、2，则矩阵的特征值为____________；三．解答题（每小题8分，共40分）1.计算

3、行列式；2.设3阶方阵满足方程，试求矩阵，其中；3.设A为三阶矩阵且，求；4.求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；5.已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为，且对应于特征值为0的特征向量为，求矩阵A.四．(12分)设线性方程组为，问：、分别取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.五．（12分）设二次型=由正交变换可化为标准形.求的值及正交矩阵P，并判断该二次型的正定性.六．证明题（每小题6分，共12分）1.设向量组线性无关,且，，.试证明向量组线性无关.

4、2.若方阵A、B满足.证明A可逆，并求(用A的多项式表示).武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（A卷）一、选择题（每小题3分，共12分）1.B2.C3.B4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.；3.a=1；4.2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1.解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：2分2分4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。2.由题，有2分且故可逆。2分2分在等式左右

5、两边左乘得2分2分3.解：2分2分2分,上式＝2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。4.解：令矩阵，并通过初等行变化化成最简形，有：4分故向量组A的的一个最大无关组为，2分且。2分5.解：因为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的，设特征值为2时所对应的特征向量为则有：2分其基础解系为若矩阵A相似与对角矩阵，则相似变换矩阵为，2分求得，2分2分由＝注：本题也可使用参数法求解，即：设,2分由题意有2分得，故矩阵,由特征值为2得，2分由特征多项式为，比较系数得故A=2分四．(共12分)

6、解：线性方程组的系数矩阵为：增广矩阵为：4分故（1）当1分(2)当1分（3）当2分当时，原增广矩阵为2分其等价方程组为：，故其通解为：2分注：本题也可采用如下方法判断方程组有唯一解：系数行列式为：，故当若a=-2时，代入原方程组进行化简，其计算步骤和评分标准同上。五．（共12分）解：的矩阵，有特征值故2分当时，解方程组得方程组的基础解系为：，,2分正交单位化，有：，；3分当时，解方程组得方程组的基础解系为：,单位化，得：2分令,故即为所求的正交变换。2分因为矩阵A特征值不全为正，故为非正定型（或不定）。1分

7、六．（每小题6分，共12分）1.证明：设有使，2分则有：即：由于线性无关，则必有2分解得：，所以，线性无关。2分2.证明：由2分，2分故有：2分