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《级线性代数试题和答案 a卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷(A卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1.设A为n阶方阵,为其伴随矩阵,,则_____2.已知均为2维列向量,矩阵,.若行列式,则_____3.若则=_____4.设A为5阶方阵,且,则齐次线性方程组（是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为_____5.设是实正交矩阵,且则线性方程组的解是_____6.若使二次型为正定的,则的取值范围是_____7.设3阶方阵A满足,且0<<5,则_____答案：（1）（2）-2（3）k+1（4）4（5）（6）（7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共2
2、8分）1.设A为n阶方阵,B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵,则有（）(A)(B)(C)若,则一定有(D)若,则一定有2.设行列式,则第四行各元素代数余子式之和的值为()(A)28(B)-28(C)0(D)3363.设A为m阶方阵,B为n阶方阵,,则等于()(A)(B)(C)(D)4.设n维列向量组线性无关,则n维列向量组线性无关的充分必要条件是（）(A)向量组可由向量组线性表示(B)向量组可由向量组线性表示(C)矩阵与矩阵等价(D)向量组与向量组等价5．设A、B为n阶方阵,且,则（）(A)(B)(C)(D)6.设矩阵,则A与B（）（A）合同且相似（B）合同但不相似(C)
3、不合同但相似（D)不合同且不相似7．设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则线性无关的充分必要条件是（）（A）（B）(C)(D)答案：CCCCCAA三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n+1阶行列式.解分三种情况讨论：（1）当全不为0时，D为箭型行列式且（2）当中只有一个为0时，不妨假设，则（3）当中有两个以上为0时，显然.综合以上三种情况，我们有2.设矩阵满足关系式,其中,求？解在等式等号两边同时乘以C,得,,.3．设线性方程组（1）问：,取何值时,线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时,试用基础解系表示通解.解设题中线性方程组为用消元法,对线性方
4、程组的增广矩阵施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：由此可知：当b≠4时,线性方程组无解;当b=4时,恒有线性方程组有解.若方程组有无穷多个解，通解为：k为任意实数若方程组有无穷多个解，通解为：为任意实数4．设矩阵求的特征值和特征向量.其中是A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.解计算A的特征多项式故A的特征值为.因为所以的特征值为1,-8,-8.由于与相似,相似矩阵有相同的特征值，所以的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量,因为,我们有矩阵B的属于的特征向量为,因此矩阵的属于的特征向量为第三步 求出A的全部特征向量对于，求解线性方程组得特征向量对于，求解线性方程组得特征向量
5、第四步 求出的全部特征向量，即计算.综合以上分析我们有：矩阵属于特征值2011的特征向量为k,k为任意实数属于特征值2002的特征向量为为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1.已知向量组线性无关,向量组可表示为,其中是实数.证明线性无关.证明用定义.假设存在s个数,使,即,也就是.又因为线性无关,所以上式中系数部分都为0,即解得,故线性无关.2.设n阶矩阵A满足且.证明相似于对角矩阵.证由可得(1)可得A的特征值为1或-2，要证明相似于对角矩阵，也就是A可以对角化，即要证明A有n个线性无关的特征向量。由（1）式有，（2）又（3）综合（2）和（3）有，不妨假设,则矩阵2E+A有
6、r个线性无关的列向量，由（1）式中第一个等号知这r个列向量也是特征值1的特征向量；同理由（1）式中第二个等号可知矩阵A-E的n-r个线性无关的列向量是特征值-2的特征向量。于是矩阵A有r+（n-r）=n个线性无关的特征向量。故A可以对角化.
