2017_18版高中数学第三章数系的扩充与复数章末复习课学案

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1、第三章数系的扩充与复数题型一　分类讨论思想的应用例1　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．反思与感悟　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈

2、R时，也要分情况讨论．跟踪训练1　(1)若复数(a2－a－2)＋(

3、a－1

4、－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2答案　C解析　若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数．当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且

5、a－1

6、－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．5(2)实数x取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．解　①当x2－2x－15＝

7、0，即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；②当x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；③当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2时，复数z是纯虚数；④当x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3时，复数z为零．题型二　数形结合思想的应用例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．∵OA∥BC，

8、OC

9、＝

10、BA

11、，∴kOA＝kBC，

12、zC

13、＝

14、zB－zA

15、，即解得或.∵

16、OA

17、≠

18、BC

19、，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z

20、＝－5.反思与感悟　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．跟踪训练2　已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求

21、z1

22、；(2)若

23、z

24、＝1，求

25、z－z1

26、的最大值．解　(1)

27、z1

28、＝

29、i(1－i)3

30、＝

31、i

32、·

33、1－i

34、3＝2.(2)如图所示，由

35、z

36、＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O5(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以

37、z－z1

38、的

39、最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知

40、z－z1

41、max＝

42、z1

43、＋r(r为圆半径)＝2＋1.题型三　转化与化归思想的应用例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.又＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．∴，解得2

44、复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．跟踪训练3　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴∴或或或∴或或或题型四　类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i的乘方：i

45、4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－±i，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋)等；5(4)(±i)3＝－1；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．例4　计算：(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)；(2)＋()2006.解　(1)方法一　(1－i)(－＋i)(1＋i)＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)＝(＋i)(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.方法二　原式＝(1－i)(