2017_18版高中数学第三章数系的扩充与复数章末复习课学案

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1、第三章数系的扩充与复数题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件?(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.解 (1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,该复数为实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,该复数为虚数.(3)当即k=4时,该复数为纯虚数.反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x+yi没有说明x,y∈

2、R时,也要分情况讨论.跟踪训练1 (1)若复数(a2-a-2)+(

3、a-1

4、-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(  )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2;当a2-a-2=0且

5、a-1

6、-1=0时,已知的复数也不是一个纯虚数,解得a=2.综上所述,当a≠-1时,已知的复数不是一个纯虚数.5(2)实数x取什么值时,复数z=(x2+x-6)+(x2-2x-15)i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④零.解 ①当x2-2x-15=

7、0,即x=-3或x=5时,复数z为实数;②当x2-2x-15≠0,即x≠-3且x≠5时,复数z为虚数;③当x2+x-6=0且x2-2x-15≠0,即x=2时,复数z是纯虚数;④当x2+x-6=0且x2-2x-15=0,即x=-3时,复数z为零.题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解 设z=x+yi,x,y∈R,如图.∵OA∥BC,

8、OC

9、=

10、BA

11、,∴kOA=kBC,

12、zC

13、=

14、zB-zA

15、,即解得或.∵

16、OA

17、≠

18、BC

19、,∴x2=-3,y2=4(舍去),故z

20、=-5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.本章中,复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.跟踪训练2 已知复数z1=i(1-i)3.(1)求

21、z1

22、;(2)若

23、z

24、=1,求

25、z-z1

26、的最大值.解 (1)

27、z1

28、=

29、i(1-i)3

30、=

31、i

32、·

33、1-i

34、3=2.(2)如图所示,由

35、z

36、=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O5(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以

37、z-z1

38、的

39、最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知

40、z-z1

41、max=

42、z1

43、+r(r为圆半径)=2+1.题型三 转化与化归思想的应用例3 已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围.解 设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2.又==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,∴x=4.∴z=4-2i,又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限.∴,解得2

44、复数时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),把复数z满足的条件转化为实数x,y满足的条件,即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.跟踪训练3 已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.解 设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi.又(x+y)2-3xyi=4-6i,∴4a2-3(a2+b2)i=4-6i,∴∴或或或∴或或或题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分子分母有理化,只要注意i2=-1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i的乘方:i

45、4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k∈Z);(2)(1±i)2=±2i;(3)设ω=-±i,则ω3=1,ω2=,1+ω+ω2=0,=ω2,ω3n=1,ω3n+1=ω(n∈N+)等;5(4)(±i)3=-1;(5)作复数除法运算时,有如下技巧:===i,利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.例4 计算:(1)(1-i)(-+i)(1+i);(2)+()2006.解 (1)方法一 (1-i)(-+i)(1+i)=(-+i+i-i2)(1+i)=(+i)(1+i)=+i+i+i2=-1+i.方法二 原式=(1-i)(

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