2017_18版高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法学案

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1、3．2.1　复数的加法与减法明目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平

2、行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.[情境导学]我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一　复数加减法的运算思考1　我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答　仍然是个复数，且是一个确定的复数．思考2　复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数

3、的加法法则，试着给出复数的减法法则．答　实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.6思考3　实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．答　满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z

4、2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．例1　计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解　(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.反思与感悟　复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训

5、练1　计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．解　(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.探究点二　复数加减法的几何意义思考1　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答　如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的几何意义＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋与复

6、数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．思考2　怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答　z1－z2可以看作z1＋(－z26)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)表示的复数．解　(1)因为＝－，所以表示的复数为－

7、3－2i.(2)因为＝－，所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思与感悟　复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪训练2　复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)

8、，如图．则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.6∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.∴，解得，故点D对应的复数为2－i.探究点三　复数加减法的综合应用例3　已知

9、z1

10、＝

11、z2

12、＝

13、z1－z2

14、＝1，求

15、z1＋z2

16、.解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵

17、z1

18、＝

19、z2

20、＝

21、z1－z2

22、＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1②由①②得2ac＋