2017_18版高中数学第三章数系的扩充与复数3.1.1实数系3.1.2复数的概念学案

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1、3．1.1　实数系3．1.2　复数的概念明目标、知重点　1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念(1)复数①定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．(2)复数集①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：3．复数相等

2、的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.[情境导学]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x25＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一　复数的概念思考1　为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方

3、程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2　如何理解虚数单位i?答　(1)i2＝－1.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立．(4)若i2＝－1，那么i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.思考3　什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答　形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做

4、虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．例1　请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟　复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1　符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－的

5、虚数；(2)虚部为－的虚数；(3)虚部为－的纯虚数；(4)实部为－的纯虚数．解　(1)存在且有无数个，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m5＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解　由已知得复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.(1)复数z是实数的充要条件是⇔⇔m＝－2.∴当m＝－2时，复数z是实数．(2)复数z是虚数的充要条件是⇔m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．(3)复数z是纯虚数的充要条件是⇔⇔m＝3.∴当m＝3时，复数z是

6、纯虚数．反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.探究点二　两个复数相等思考1　两个复数能否比较大小？答　如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．思考2　两个复数

7、相等的充要条件是什么？答　复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．例3　已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.解　由复数相等的充要条件得解得5反思与感悟　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解