2017_18版高中数学第一章数列2.2等差数列的前n项和(一)学案北师大版必修

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1、2.2　等差数列的前n项和(一)学习目标　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一　等差数列前n项和公式的推导思考　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理　“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1

2、＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝.根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，代入上式可得Sn＝na1＋____________.知识点二　等差数列前n项和公式的特征思考1　等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？　思考2　我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)

3、，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？　梳理　等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：(1)Sn＝n·；(2)Sn＝n2＋(a1－)n；(3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)．知识点三　等差数列前n项和公式的性质7思考　若{an}是公差为d的等差数列．那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是等差数列吗？如果是，公差是多少？梳理　等差数列的前n项和常用性质．(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.(2)

4、项的个数的“奇偶”性质．{an}为等差数列，公差为d.设S奇为前n项中序号为奇数的项之和．S偶为前n项中序号为偶数的项之和．①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　求和命题角度1　根据条件选择公式求和例1　等差数列{an}中，公差为d，Sn为前n项和．(1)a1＝3，d＝2，求S10；(2)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn.　反思与感悟　等差数列前n项和公式有2个：Sn＝na1＋d，Sn＝，使用时根据条件选择，当条件

5、不具备时，缺什么求什么．跟踪训练1　(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．(2)等差数列{an}中，a4＋a7＝0，则前10项的和为________．命题角度2　实际问题求和例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？　反思与感悟　建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、

6、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．跟踪训练2　植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．7类型二　等差数列前n项和公式的应用例3　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？　反思与感悟　(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，S

7、n，知其三能求其二．跟踪训练3　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.类型三　等差数列前n项和性质的应用例4　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．　反思与感悟　等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练4　设{an}为等差