.. 等差数列的前n项和 学案（北师大版必修）

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1、第3课时　等差数列的前n项和思路方法技巧命题方向　有关等差数列的基本量的运算［例1］　已知等差数列{an}中，（1）a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d.［分析］　a1,d,n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个基本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.［解析］　(1)∵Sn=n·+·（-）=-15，整理，得n2-7n-60=0.解之得n=12或n=-5(舍去).∴a12=+(12-1)×（-）=-4.

2、(2)由Sn===-1022,解之得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解之得d=-171.［说明］　等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.变式应用1　在等差数列｛an｝中，（1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8;（2）已知a3+a15=40,求S17.［解析］　（1）∵a6=10,S5=5,a1+5d=1

3、0a1=-5∴，解得.5a1+10d=5d=3∴a8=a6+2d=16,S8==44.(2)∵a1+a17=a3+a15,∴S17===＝340.命题方向　等差数列前n项和的性质［例2］　一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.［分析］　解答本题可利用前n项和公式求出a1和d,即可求出S110,或利用等差数列前n项和的性质求解.［解析］　方法一：设等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+d.10a1+d=100　　　　①由已知得100a1+d

4、=10　　　②①×10－②，整理得d=-,代入①，得a1=.∴S110=110a1+d=110×+×（-）=110（）＝－110.故此数列的前110项之和为－110．方法二：数列S10,S20-S10,S30-S20,…，S100-S90,S110-S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+×D=S100=10D=-22，∴S110-S100=S10+（11-1）D=100+10×（-22）=-120.∴S110=-120+S100=-110.方法三：设Sn=an2+bn.∵S10=10

5、0,S100=10,102a+10b=100a=-∴，.1002a+100b=10b=∴Sn=-n2+n.∴S110=-×1102+×110=-110.方法四：∵S100-S10=a11+a12+…+a100==.又S100-S10=10-100=-90,∴a1+a110=-2.∴S110==-110.方法五：在等差数列中，因为点（n,）共线，所以（10，）,（100，）,（110，）三点共线，故＝即＝∴=10+×(-10)=-1∴S110=-110.［说明］　比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前

6、n项和的性质解题，可以大大减少运算量.变式应用2　已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sm=70，S2m=110,则S3m＝　　　　.［答案］　120［解析］　∵{an}为等差数列，∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即2（110-70）＝70+S3m-110，∴S3m=120.命题方向　等差数列前n项和的最值问题［例3］　已知数列{an｝是等差数列，a1=50,d=-0.6.(1)从第几项开始有an<0;(2)求此数列的前n项和的最大值.

7、［分析］　对于（1）实质上是解一个不等式，但要注意n∈N＋；对于（2）实际上是研究Sn随n的变化规律，由于等差数列中Sn是关于n的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由an的变化推测Sn的变化.［解析］　（1）因为a1=50，d=-0.6,所以an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.令-0.6n+50.6≤0，则n≥≈84.3.由于n∈N＋，故当n≥85时，an<0，即从第85项起以后各项均小于0.（2）解法一：因为d=-0.6<0,a1=50>0,由（1）知a84>0,a85<

8、0,所以S1S85>S86>….所以当n=84时，Sn有最大值，即S84=50×84+×(-0.6)=2108.4.解法二：Sn=50n+×(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3（n-）2+.当n取接近于的自然数，即n=84时，Sn达到最大值S84=2108.4.［说明］　求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：方法一：根据项的正负来定.若a1>0,d<0，则数列的所有正数项之和最大；若a1<0,d>0，则数列的