2017-2018版高中数学第一章数列2.2等差数列的前n项和(二)学案北师大版必修5.doc

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1、2.2　等差数列的前n项和(二)学习目标　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.知识点一　数列中an与Sn的关系思考　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?　梳理　对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝知识点二　等差数列前n项和的最值思考　我们已经知道，当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋(a1－)n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？梳理　等差数列前n项和的最值与{Sn}的

2、单调性有关．(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．类型一　已知数列{an}的前n项和Sn求an引申探究例1中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公

3、差分别是什么？　反思与感悟　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.类型二　等差数列前n项和的最值例2　已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求当Sn取得最大值时n的值．反思与感悟　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，

4、也可借助二次函数的图像或性质求解．跟踪训练2　在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．类型三　求等差数列前n项的绝对值之和例3　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝

5、a1

6、＋

7、a2

8、＋…＋

9、an

10、，求Tn.　反思与感悟　求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．跟踪训练3　已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝

11、an

12、，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．1．已知数

13、列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于(　　)A．4n－2B．n2C．2n＋1D．2n2．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)A．－2B．－1C．0D．13．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.　1．因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表

14、示．2．求等差数列前n项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．答案精析问题导学知识点一思考　a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋.梳理　S1　Sn－Sn－1知识点二思考　由二次函数的性质可

15、以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．题型探究例1　解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．引申探究解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋

16、(n－1)＋1]＝2n－.①当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不