2017_18学年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理学案

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1、1.6微积分基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P51～P54的内容，回答下列问题．(1)观察教材P51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s.①由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)与y(t)之间有什么关系？提示：v(t)＝y′(t)．②如何利用y＝y(t)表示物体在t∈[a，b]上的位移s?提示：s＝y(b)－y(a)．③若v(t)表示物体在任意时刻t的速度，如何用v(t)求物体在t∈[a，b]上的位

2、移s?提示：s＝v(t)dt.④由①②③能否得出结论s＝v(t)dt＝y′(t)dt＝y(b)－y(a)成立？提示：能．(2)计算定积分sinxdx，sinxdx，sinxdx，由计算结论你能发现什么规律？提示：sinxdx＝2，sinxdx＝－2，sinxdx＝0.即定积分的值可正，可负，还可能为0.(3)根据sinxdx，sinxdx和sinxdx值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．提示：当曲边梯形在x轴上方时，定积分的值取正值；当

3、曲边梯形在x轴下方时，定积分的值取负值；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.2．归纳总结，核心必记(1)微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么12f(x)dx＝F(b)－F(a)．符号f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).(2)定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则①当曲边梯形在x轴上方时，如图(1)，则f(x)dx＝S上．②当曲边梯形在x轴下方时，如图(2)，则f(x)dx＝－S下．③

4、当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.[问题思考](1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果f(x)dx＝g(x)dx，那么是否一定有f(x)＝g(x)？请举例说明．提示：不一定，例如：当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，2xdx＝3x2dx，但f(x)≠g(x)．(3)如图，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分f(x)dx的值？提示：f(x)dx＝S1－S2＋S3.(4)你认为

5、f(x)dx，

6、f(x)

7、dx和有什么不同？提示：①f(x)dx表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a

8、f(x)

9、dx表示在区间[a，b]上所有以的图象为曲边的曲边梯形的面积和；③则是f(x)dx的绝对值．三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x)≥0，x∈[a，b]，三者的值是相同的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)微积分基本定理的内容是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)定积分与曲边梯形的面积有什么关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[思考1]　如何利用微积分基本定理求函数f(x)在[a，b]上的定积分f(x)dx?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤：(1)求f(x)的一个原函数F(x)；(2)计算F(b)－F(a)．[思考2]　我们知道，已知函数f(x)，则满足F′(x)＝f(x)的函数y

11、＝F(x)不唯一，那么f(x)dx的值唯一吗？名师指津：由于f(x)dx＝F(b)－F(a)，且f(x)的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故f(x)dx是唯一的．讲一讲1．(链接教材P53－例1)计算下列定积分．[尝试解答]　(1)∵′＝x3－2x，12∴(x3－2x)dx＝＝－.(2)∵′＝x＋cosx，(3)sin2＝，而′＝－cosx，(4)∵f(x)＝＝－，且[lnx－ln(x＋1)]′＝－，∴dx＝dx用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需

12、要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．练一练1．计算下列定积分．解：(1)