高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理教学案 新人教A版选修.doc

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1、1.6　预习课本P51～54，思考并完成下列问题(1)微积分基本定理的内容是什么？　(2)被积函数f(x)的原函数是否是唯一的？　　　　　　1．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．[点睛]　对微积分基本定理的理解(1)微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F

2、(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．(2)牛顿－莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原函数)的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴

3、上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　　)(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.(　　)(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√2．下列积分值等于1的是(　　)A.xdx　　　　　　　　B.(x＋1)dxC.1dxD.dx答案：C3．计算：sinxdx＝(

4、　　)A．－2　　B．0　　　　　C．2　　　　　D．1答案：C定积分的求法[典例]　(1)定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)A．e＋2　　　　　　　B．e＋1C．eD．e－1(2)f(x)＝求f(x)dx.[解析]　(1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.答案：C(2)解：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝(1＋2x)dx＋x2dx＝(x＋x2)＋x3＝1＋1＋(8－1)＝.1．由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)

5、，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．2．分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．　　　　[活学活用]计算下列定积分：(1)(x3－2x)dx；(2)(x＋cosx)dx；(3)dx.解：(1)(x3－2x)dx＝＝－.(2)(x＋cosx)dx＝＝＋1.(3)f(x)＝

6、＝－.取F(x)＝lnx－ln(x＋1)＝ln，则F′(x)＝－，所以dx＝dx＝ln＝ln.定积分的综合应用[典例]　(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是_________．(2)已知[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求ab的取值范围．[解析]　(1)(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]＝2－2x，即f(x)＝－2x＋2，因为x∈(0,1]，所以f(1)≤f(x)

7、ax＋1)(x＋b)]dx＝[3ax2＋(3ab＋1)x＋b]dx＝＝a＋(3ab＋1)＋b＝0，即3ab＋2(a＋b)＋1＝0.法一：由于(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以2≥4ab，即9(ab)2－10ab＋1≥0，得(ab－1)(9ab－1)≥0，解得ab≤或ab≥1.所以ab的取值范围是∪[1，＋∞)．法二：设ab＝t，得a＋b＝－，故a，b为方程x2＋x＋t＝0的两个实数根，所以Δ＝－4t≥0，整理，得9t2－10t＋1≥0，即(t－1)(9t－1)≥0，解得t≤或t≥1.所以ab的取值范围是∪[1，＋∞)．含有

8、参数的定积分问题的处理办法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上