高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1.6微积分基本定理微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.问题1：f(x)和F′(x)有何关系？提示：F′(x)＝f(x)．问题2：利用定积分的几何意义求(2x＋1)dx的值．提示：(2x＋1)dx＝6.问题3：求F(2)－F(0)的值．提示：F(2)－F(0)＝6－0＝6.问题4：(2x＋1)dx与F(2)－F(0)有什么关系？提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)．1．微积分基本定理内容如果f(x)是区间上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b

2、)－F(a)符号f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下；若S上＝S下，则＝0.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单

3、有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，再计算F(b)－F(a)．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分．求简单函数的定积分　求下列定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(cosx－ex)dx；(3)sin2dx.　(1)(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝＋x2＋3x＝.(2)(cosx－ex)dx＝cosxdx－exdx＝sinx－ex＝－1.(

4、3)sin2＝，而′＝－cosx，∴sin2dx＝dx＝＝－＝.由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．计算下列定积分：(1)dx；(2)(1＋)dx；(3)∫－(sinx＋2x)dx.解：(1)因为(ex＋lnx)′＝ex＋，所以dx＝(ex＋lnx)＝e2＋ln2－e.(2)因为(1＋)＝x＋，′＝x＋，所以(1

5、＋)dx＝(x＋)dx＝＝.(3)法一：因为(－cosx＋x2)′＝sinx＋2x，所以∫－(sinx＋2x)dx＝(－cosx＋x2)－＝0.法二：令f(x)＝sinx＋2x，因为函数f(x)＝sinx＋2x为奇函数，所以f(x)＝sinx＋2x的图象关于原点对称，即曲线y＝f(x)位于x轴上方的图形面积与位于x轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0.求分段函数的定积分　已知f(x)＝计算f(x)dx.　f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝(4x－2π)dx＋co

6、sxdx.取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；取F2(x)＝sinx，则F2′(x)＝cosx.所以(4x－2π)dx＋cosxdx＝(2x2－2πx)＋sinx＝－π2－1，即f(x)dx＝－π2－1.分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．计算定积分－4

7、x＋3

8、dx.解：因为f(x)＝

9、x＋

10、3

11、＝所以

12、x＋3

13、dx＝(－x－3)dx＋(x＋3)dx＝＋＝5.利用定积分求参数　设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．　因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c，所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．即x0的值为.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其

14、次要注意积分下限小于积分上限．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴a＋b＋c＝0.①∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝2.②f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx＝＝a＋b＋c＝0.③由①②③得∴f(x)＝－x2＋2x－.　　　　　计算(2t＋3)dx＝________.　(2t＋3)dx＝(2t＋3)x＝(2t＋3)×2－(2t＋3)×1＝2t＋3.　2t＋31．本题的积分