高中数学 导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教a版

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1、§1.6　微积分基本定理学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一　微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则ʃ(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？答案　由定积分的几何意义知，ʃ(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故ʃ(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．梳理　(1)微积分基本定理①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；②结论：ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)；③符号表示：ʃf(x)dx＝

2、F(x)

3、＝F(b)－F(a)．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃcdx＝cx

4、(c为常数)．②ʃxndx＝(n≠－1)．③ʃsinxdx＝－cosx

5、.④ʃcosxdx＝sinx

6、.⑤ʃdx＝lnx

7、(b>a>0)．⑥ʃexdx＝ex

8、.⑦ʃaxdx＝(a>0且a≠1)．⑧ʃdx＝(b>a>0)．知识点二　定积分和曲边梯形面积的关系思考　定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案　当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等．梳理　设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在

9、x轴上方时，如图①，则ʃf(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则ʃf(x)dx＝－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图③，则ʃf(x)dx＝S上－S下．特别地，若S上＝S下，则ʃf(x)dx＝0.1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(　×　)2．微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　√　)3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　√　)类型一　求定积分例1　计算下列定积分．(1)ʃ(2x＋ex)dx；(2)ʃdx；(3)(4)ʃ(x－3)(x－4)dx.考点

10、　利用微积分基本定理求定积分题点　利用微积分基本定理求定积分解　(1)ʃ(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)

11、＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.(2)ʃdx＝(lnx－3sinx)

12、＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)＝ln2－3sin2＋3sin1.(3)∵2＝1－2sincos＝1－sinx，∴＝－(0＋cos0)＝－1.(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，∴ʃ(x－3)(x－4)dx＝ʃ(x2－7x＋12)dx＝＝－0＝.反思与感悟　(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)．(2)由微积分

13、基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．跟踪训练1　计算下列定积分．(1)ʃdx；(2)；(3)ʃ(1＋)dx.考点　利用微积分基本定理求定积分题点　利用微积分基本定理求定积分解　(1)ʃdx＝＝－＝ln2－.(2)＝sinx＝1.(3)ʃ(1＋)dx＝ʃ(＋x)dx＝＝－＝.例2　(1)若f(x)＝求(2)计算定积分ʃ

14、3－2x

15、dx.考点　分段函数的定积分题点　分段函数的定积分解　(1)＝ʃx2dx＋又因为′＝x2，(sinx－x)′＝cosx－1，所以原式＝＋(sinx－x)＝＋－(si

16、n0－0)＝－.(2)ʃ

17、3－2x

18、dx＝(3x－x2)＋(x2－3x)＝.反思与感悟　分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2　(1)ʃe

19、x

20、dx＝________.考点　分段函数的定积分题点　分段函数的定积分答案　2e－2解析　ʃe

21、x

22、dx＝ʃe－xdx＋ʃexdx＝－e－x

23、＋ex

24、＝－e0＋e1＋e1－e0＝2e－2.(2)已知f(x)＝求ʃf(x)dx.考点　分段函数的定积分题点　分段函数的定积分解　ʃf(x)dx＝ʃ(2x＋ex

25、)dx＋ʃdx＝(x2＋ex)

26、＋＝(1＋e)－(0＋e0)＋－＝e＋－ln2.类型二　利用定积分求参数例3　(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若ʃf(x)dx＝6，则t＝________.(2)已知2≤ʃ(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．考点　微积分基本定理的应用题点　利用微积分基本定理求参数答案　(1)3　(2)解析　(1)ʃf(x)dx＝ʃ(2x－1)dx＝t2－t＝6，解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.(2)ʃ(kx＋1)dx＝＝k＋1.由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃf(x)dx＝f

27、 ，求t.