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时间:2019-10-24
《2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.6 微积分基本定理学习目标核心素养1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义.(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理,会用微积分基本定理求定积分.(重点、难点)1.通过微积分基本定理的学习,体现了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积,培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.1.微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).符号f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).思考:满足F′(x)=f(x)的函数F(x)唯一吗?[提示] 不唯一
2、,如F1(x)=x+1,F2(x)=x+5,…等其导数为1,故F(x)不唯一.2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下方的面积为S下.则(1)当曲边梯形在x轴上方时,如图①,则f(x)dx=S上.(2)当曲边梯形在x轴下方时,如图②,则f(x)dx=-S下.(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时,如图③,则f(x)dx=S上-S下,若S上=S下,则f(x)dx=0.图① 图② 图③1.若a=(x-2)dx,则被积函数的原函数为( )A.f(x)=x-2 B.f(x)=x-2+CC.f
3、(x)=x2-2x+CD.f(x)=x2-2x[答案] C2.cosxdx=________.1 [cosxdx=sinx=sin-sin0=1.]3.如图所示,定积分f(x)dx的值用阴影面积S1,S2,S3表示为f(x)dx=________.S1-S2+S3 [根据定积分的几何意义知f(x)dx=S1-S2+S3.]求简单函数的定积分【例1】 求下列定积分.(1)(2x+ex)dx;(2)dx;(3)2dx;(4)(x-3)(x-4)dx.[解] (1)(2x+ex)dx=(x2+ex)=(1+e1)-(0+e0)=e.(2)dx=(ln
4、x-3sinx)=(ln2-3sin2)-(ln1-3sin1)=ln2-3sin2+3sin1.(3)∵=1-2sincos=1-sinx,∴dx=(1-sinx)dx=(x+cosx)=-(0+cos0)=-1.(4)∵(x-3)(x-4)=x2-7x+12,∴(x-3)(x-4)dx=(x2-7x+12)dx==9-+36=.(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式,便于求得函数F(x).(2)由微积分基本定理求定积分的步骤,第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x);第二步:计算函数的增量F(b)-F(a).
5、1.计算下列定积分.(1)dx;(2)∫0dx;(3)(1+)dx.[解] (1)dx==-=ln2+.(2)dx=cosxdx=sinx=1.(3)(1+)dx=(+x)dx==-=--8=.求分段函数的定积分【例2】 计算下列定积分.(1)f(x)=求f(x)dx;(2)
6、x2-1
7、dx.思路探究:(1)按f(x)的分段标准,分成,,(2,4]三段求定积分,再求和.(2)先去掉绝对值号,化成分段函数,再分段求定积分.[解] (1)f(x)dx=sinxdx+1dx+(x-1)dx=(-cosx)+x+=1++(4-0)=7-.(2)
8、x2-
9、1
10、dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=+=2.1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号,可先求函数f(x)的零点,结合积分区间,分段求解.2.分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成n段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行.3.带绝对值号的解析式,可先化为分段函数,然后求解.2.(1)f(x)=求f(x)dx.(2)求
11、x2-x
12、dx的值.[解] (1)f(x)dx=(1+2x)dx+x2dx=(x+x2)+x3=2+=.(2)∵
13、x2-x
14、=∴
15、x2-x
16、dx=(x2-x)dx+(x-x2)dx+(x2-x)dx=+
17、+=++=.利用定积分求参数[探究问题]1.求f(a)=(2ax2-a2x)dx的表达式.[提示] f(a)=(2ax2-a2x)dx==a-a2.2.试求f(a)取得最大时a的值.[提示] f(a)=a-a2=-+=-+,∴当a=时,f(a)的最大值为.【例3】 (1)已知t>0,f(x)=2x-1,若f(x)dx=6,则t=________.(2)已知2≤(kx+1)dx≤4,则实数k的取值范围为________.[解] (1)f(x)dx=(2x-1)dx=t2-t=6,解得t=3或-2,∵t>0,∴t=3.(2)(kx+1)dx==k+
18、1.由2≤k+1≤4,得≤k≤2.1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dx=f,求t.[解] 由f(x)dx=(2x-1)dx=t2-t,
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