2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教A版

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1、1.6　微积分基本定理学习目标核心素养1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)1.通过微积分基本定理的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.1．微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).符号f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？[提示]　不唯一

2、，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.图①　　　　　　图②　　　　　　图③1．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为(　　)A．f(x)＝x－2　　　B．f(x)＝x－2＋CC．f

3、(x)＝x2－2x＋CD．f(x)＝x2－2x[答案]　C2．cosxdx＝________.1　[cosxdx＝sinx＝sin－sin0＝1.]3．如图所示，定积分f(x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f(x)dx＝________.S1－S2＋S3　[根据定积分的几何意义知f(x)dx＝S1－S2＋S3.]求简单函数的定积分【例1】　求下列定积分．(1)(2x＋ex)dx；(2)dx；(3)2dx；(4)(x－3)(x－4)dx.[解]　(1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.(2)dx＝(ln

4、x－3sinx)＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)＝ln2－3sin2＋3sin1.(3)∵＝1－2sincos＝1－sinx，∴dx＝(1－sinx)dx＝(x＋cosx)＝－(0＋cos0)＝－1.(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，∴(x－3)(x－4)dx＝(x2－7x＋12)dx＝＝9－＋36＝.(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x).(2)由微积分基本定理求定积分的步骤,第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).

5、1．计算下列定积分．(1)dx；(2)∫0dx；(3)(1＋)dx.[解]　(1)dx＝＝－＝ln2＋.(2)dx＝cosxdx＝sinx＝1.(3)(1＋)dx＝(＋x)dx＝＝－＝－－8＝.求分段函数的定积分【例2】　计算下列定积分．(1)f(x)＝求f(x)dx；(2)

6、x2－1

7、dx.思路探究：(1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解]　(1)f(x)dx＝sinxdx＋1dx＋(x－1)dx＝(－cosx)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.(2)

8、x2－

9、1

10、dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝2.1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．(1)f(x)＝求f(x)dx.(2)求

11、x2－x

12、dx的值．[解]　(1)f(x)dx＝(1＋2x)dx＋x2dx＝(x＋x2)＋x3＝2＋＝.(2)∵

13、x2－x

14、＝∴

15、x2－x

16、dx＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＋(x2－x)dx＝＋

17、＋＝＋＋＝.利用定积分求参数[探究问题]1．求f(a)＝(2ax2－a2x)dx的表达式．[提示]　f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2.2．试求f(a)取得最大时a的值．[提示]　f(a)＝a－a2＝－＋＝－＋，∴当a＝时，f(a)的最大值为.【例3】　(1)已知t＞0，f(x)＝2x－1，若f(x)dx＝6，则t＝________.(2)已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________.[解]　(1)f(x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t＝6，解得t＝3或－2，∵t＞0，∴t＝3.(2)(kx＋1)dx＝＝k＋

18、1.由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.1．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dx＝f，求t.[解]　由f(x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t，