2016_17学年高中数学学业分层测评18平面向量基本定理含解析

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1、学业分层测评(十八)平面向量基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2【解析】　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.【答案】　B2.(2016·合肥高一检测)如图229，向量a－b等于(

2、　　)图229A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2【解析】　不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.【答案】　C3.(2016·大连高一检测)如图2210，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，6EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝(　　)图2210A.a＋bB.a＋bC.a－bD.a＋b【解析】　易知＝，＝.设＝λ，则由平行四边形法则可得＝λ(＋)＝2λ＋2λ，由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝，从而＝，从

3、而＝＝(a＋b).【答案】　D4.若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)A.B.C.D.【解析】　∵＝4＝r＋s，∴＝＝(－)＝r＋s，∴r＝，s＝－，6∴3r＋s＝－＝.【答案】　C5.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是(　　)A.若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a

4、＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对【解析】　选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对.【答案】　A二、填空题6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【解析】　由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，所以有解得【答案】　－7.设e1

5、，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.【解析】　因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝代入②得e1＝e2－b＝－b＝a－b，故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.【答案】　a－b三、解答题8.如图2211，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与6的夹角为30°，且

6、

7、＝

8、

9、＝1，

10、＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.图2

11、211【导学号：72010056】【解】　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋，在Rt△OCD中，因为

12、

13、＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以

14、

15、＝4，

16、

17、＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.9.(2016·马鞍山二中期末)如图2212所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设＝a，＝b.图2212(1)用a，b表示；(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线.【解】　(1)＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.(2)证

18、明：连接AC，BD交于O，则＝，∵E，F分别是BC，DC的中点，∴G是△CBD的重心，∴＝＝×＝－，又C为公共点，∴A，G，C三点共线.[能力提升]61.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】　为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同.而＝＋λ，∴点P在上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.【答案】

19、　B2.如图2213所示，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y.图2213(1)求x的取值范围；(2)当x＝－时，求y的取值范围.【解】　(1)因为＝x＋y，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，6x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(