全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

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1、--2008年全国初中数学联赛试卷（第一试）一、选择题1．设a2＋1＝3a，b2＋1＝3b，且a≠b，则代数式11a2＋2的值为（）b(A)5.(B)7.(C)9.(D)11.2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（）182124(A)5.(B)4.(C)5.(D)5.3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）1321(A)5.(B)10.(C)5.(D)2.4．在△A

2、BC中，∠ABC＝12°，∠ACB＝132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则（）(A)BM＞CN.(B)BM＝CN.(C)BM＜CN.(D)BM和CN的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）9394959(A)(8).(B)(8).(C)(8).(D)8.6．已知实数x，y满足(x－2－2008)(y－2－)＝2008，则3x2－2y2＋3x－3y－2007xy2008的值为（）(A)

3、-2008.(B)2008.(C)-1.(D)1.二、填空题5－1a5＋a4－2a3－a2－a＋21．设a＝2，则a3－a＝_________.2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的两点，且AM＝5，∠MAN＝135°，则四边形AMCN的面积为___________.--------1/5----3．已知二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且│m│＋│n│＜1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则│p│＋│q│＝__________.4．依次将正整数1，2，3，⋯的平方数排成一串：1491625

4、36496481100121144⋯，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.第二试一、已知a2＋b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a(1－x)(1－x－ax)－bx(b－x－bx)≥0恒成立.当乘积ab取最小值时，求a，b的值.二、如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.三、设a为质数，b为正整数，且9(2a＋b)2＝509(4a

5、＋511b)求a，b的值.--------2/5----参考答案第一试选择题1.B2.D3.C4.B5.B6.D填空题.1.-22.53.14.122第二试一、已知a2b21，对于满足条件0x1的一切实数x，不等式a(1x)(1xax)bx(bxbx)0恒成立.当乘积ab取最小值时，求a,b的值.解：设f(x)a(1x)(1xax)bx(bxbx)，则f(x)a(1x)2a2x(1x)bx2b2x(1x)=a(1x)2bx2(a2b2)x(1x)=a(1x)2bx2x(1x)当x0时，f(0)a0，当x1时，f(1)b0，故a0,b0.若a0，则b1，f(x)2x

6、2x，不恒大于等于0，故a0,即a0，同理b0.当0x1时，f(x)[a(1x)bx]2(2ab1)x(1x)（1）当a(1x)bx，即xa(0,1)时，abf(x)(2ab1)x(1x)0，故2ab110，即ab.4（2）当ab12ab10时，，即4f(x)[a(1x)bx]2(2ab1)x(1x)06262综上所述，ab最小值是1aa，此时4或4.46262----b4b4----3/5----二、如图，圆O与圆D相交于A,B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.

7、解：(1)连接OA,OB,OC，则OAOBOC，又ABAC，故等腰ABOBCO，ABOCBO.由于BC为圆D的切线，故弦切角ABC所夹劣弧长为OBC所夹劣弧长的2倍，即半径BO所在直径通过弧AB的中点，即点O在圆D上.（2）连接AD,BD，则2rADBDAB，r2AB2ABAC，又ABAC2S，故4r22S，即r2S，且当AB为圆故42D的直径时可以取等号，故r的最小值是2S2.三、设a为质数，b为正整数，且9(2ab)2509(4a511b)求a，b的值.解：将原等式整理为关于b的一元二次方程：9b2(36a509511)b36a24509a0，由于b为正整数，

8、则方程判别