2012年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

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1、2012年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a＝－1，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小关系是()(A)a＜b＜c(B)a＜c＜b(C)b＜a＜c(D)b＜c＜a2.方程x2＋2xy＋3y2＝34的整数解(x,y)的组数为()(A)3(B)4(C)5(D)63.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为()(A)(B)(C)(D)4.已知实数a，b满足a2＋b2＝1，则a4＋ab＋b4的最小值为()(A)-(B)0(C)1(D)5.若方程x2＋2px－3p－

2、2＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足x12＋x13＝4－(x22＋x23)，则实数p的所有可能的值之和为()(A)0(B)-(C)-1(D)-6.由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a＋c＝b＋d这样的四位数共有()(A)36个(B)40个(C)44个(D)48个二．填空题1.已知互不相等的实数a，b，c满足a＋＝b＋＝c＋＝t，则t＝________2.使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数为________3.在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝______4.已知实数a，b，c满足ab

3、c＝-1，a＋b＋c＝4，＋＋＝，则a2＋b2＋c2＝________第二试一、已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二、如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：AD2＝BD•CDOPABCD三、已知抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x1＜x2)，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,-)，若AM∥BC，求抛物线的解析式.参考答案一．选择题1.C2.B3.D4.B5.B6.C二．填空题1.±12.13.4.第二试一、解设直角三角形的三边长分别为a

4、，b，c（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以.根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.二、证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，OPABCD∴，∴.三、解易求得点P，点C.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标

5、为.显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.又因为AM//BC，所以，即.把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为.