2000年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

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1、2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试1、计算的值是【】（A）1（B）（C）2（D）52、若，则的值是【】（A）（B）（C）5（D）63、设a，b是不相等的任意正数，又x＝，y＝，则x，y这两个数一定【】（A）都不大于2（B）都不小于2（C）至少有1个大于2（D）至少有1个小于24、正整数n小于100，并满足等式，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有【】（A）2个（B）3个（C）12个（D）16个5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于【】（A）4（B）6（C）8（D）6、已知ABCD

2、是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于【】（A）10（B）2（C）12（D）147、a，b是正数，并且抛物线y＝x2＋ax＋2b和y＝x2＋2bx＋a都与x轴有公共点，则a2＋b2的最小值是________。8、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。

3、某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元9、实数x，y满足x≥y≥1和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝________10、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2－t2＝________第二试一、设p是实数，二次函数y＝x2－2px－p的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)（1）求证：2px1＋x22＋3p＞0；（2）若A，B间的距离不超过│2p－3│，求

4、p的最大值。二、EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角.已知EG＝3，FH＝4，四边形EFGH的面积为5.HGABCDEF求正方形ABCD的面积三、设关于x的二次方程(k2－6k＋8)x2＋(2k2－2k－4)x＋k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值2000年全国初中数学竞赛试题解答一、1、C；2、A；3、C；4、D；5、D；6、B二、7、20；8、150；9、4；10、4三、（1）由题意知δ＝(－2p)²－4(－p)＝4p²＋4p＞0x₂2－2px₂－p＝0∴2px₁＋x₂2＋3p＝2p

5、x₁＋2px₂＋p＋3p＝2p(x₁＋x₂)＋4p＝4p²＋4p＞0（2）∵AB＝│x₂－x₁│＝∴≤│2p－3│4p²＋4p≤4p²－12p＋9即p≤且p＝满足题意故p的最大值为；四、过E、F、G、H分别作对边的垂线，得矩形PQRT，设ABCD的边长为a，PQ＝b，QR＝c，由勾股定理可得：b＝；c＝HGQRTABCDEFP由S△AEH＝S△TEH，S△BEF＝S△PEF，S△CFG＝S△QFC，S△DGH＝S△RGH，得SABCD＋SPQRT＝2SEFGH则a²＋bc＝2×5a²＋•＝10解得：a²＝即S正方形ABCD＝.五

6、、原方程可化为(k－4)(k－2)x2＋(2k2－6k－4)x＋(k－2)(k＋2)＝0[(k－4)x＋(k－2)][(k－2)x＋(k＋2)]＝0∵(k－4)(k－2)≠0∴x₁＝－＝－1－x₂＝－＝－1－∴消去k得：x₁x₂＋3x₁＋2＝0∴x₁(x₂＋3)＝－2由于x₁、x₂都是整数∴；；∴；；∴k＝6，3，经检验，k＝6，3，均符合题意