1991年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

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1、1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（）（A）3；（B）；（C）2；（D）．　　　　　　　　　　　　　　　2.如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，BC＝100，那么EF的值是（）ABCDEF（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．　　　　　　　　　　　　　3.方程x2－│x│－1＝0的解是（）（A）；（B）；（C）或；（D）．4.已知：（n是自然数）．那么的值是（）（Ａ）；　（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）．5.若1×2×3×……×99×100＝1

2、2nM，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则M（）（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，那么a＋b＋c＋d的最大值是（）（Ａ）－1；（Ｂ）－5；（Ｃ）0；（Ｄ）1．=17.如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S₁＝1，S₂＝3和S₃＝1，那么，正方形OPQR的边长是（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2；（Ｄ）3．8.在

3、锐角△ABC中，AC＝1，AB＝c，∠A＝60°，△ABC的外接圆半径R≤1，则（）（Ａ）＜c＜2；（Ｂ）0＜c≤；（C）c＞2；（D）c＝2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、填空题GABCDE１．E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．２．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和4，那么，＝．3．设m，n，p，q为非负数，

4、且对一切x＞0，恒成立，则　　　　　ABCD135°120°４．四边形ABCD中，∠ABC＝135°，∠BCD＝120°，AB＝，BC＝，CD＝6，则AD＝．第二试一、x＋y，　x－y，　xy，　四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．ABCDEF求证：BF＝AF＋CF　三、将正方形ABCD分割为n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其

5、他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．答案1．（B）据算术根性质，由右端知y＜a＜x，又由左端知a≥0且a≤0，故a＝0．由此得x＝－y，代入所求式算得值为２．（C）由平行截割定理，有①②①＋②，得∴３．（D）设x₀是方程的解，则—x₀也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C）．将代入方程，左边≠0，排除（C）．４．（D）5．（A）在1×2×3×…×100的质因数分解中，2的因子有所以，，其中2不整除P，3不整除P，因而M＝2P．６．（B）(a＋b)＋(c

6、＋d)＝c＋a，　∴b＝－d．代入b＋c＝d得c＝2d，a＝c＋d＝3d，故a＋b＋c＋d＝2d＋3d＝5d＝－5b≤－5(∵b≥1)．故a＝－3，b＝1，c＝－2，d＝－1．７．（C）　设正方形OPRQ的边长为x，即OP＝PQ＝QR＝OR＝x．作△ABC的高AD，交OR于F，在△AOR中，．如图．８．（A）作CD⊥AB，因△ABC是锐角三角形，故D在AB内，从而c＝AB＞AD＝ACcosA＝cosA＝．又由正弦定理，得c＝AB＝2RsinC＜2R≤2，所以＜c＜2．二、填空题1．12由△BEG∽△DAG，得DG∶GB＝AD∶BE＝2∶1，　

7、　∴　　DB＝３GB．连接DE，则．　　2.6设甲将a看为a′，由韦达定理得　　　由于一次项系数b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号．于是a’　　　　由①②得3．9若n＞q，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾．若n＜q，则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾．所以，只能是n＝q＝1．于是．４．作AE∥BC，交CD于E，自B，C分别作AE的垂直线BF与CG，F，G分别为垂足（如图）．BCGF为矩形，△AFB为等腰直角三角形，．·在Rt△CEG中，三、解答题一.由于有意义，所以y≠0，从而x＋y≠x－y．因此xy＝，即x(y2－

8、1)＝0．所以x＝0或y＝±1．（１）若x＝0，则由xy＝x＋y，或xy＝x－y，得y＝0，这样无意义；（２）若y＝1，则由xy＝x＋y得x＝x＋1，或由xy＝x－