2019_2020学年高中数学第1章充分条件、必要条件（第2课时）充要条件学案新人教B版

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1、第2课时　充要条件学习目标核心素养1.理解充要条件的概念．(难点)2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点)3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.1．充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．2．充要条件的判断(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(1)若p⇒q，但qp，

2、则称p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是(　　)A．p：a＝0，q：ab＝0　B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0C．p：

3、a

4、＝1

5、，q：a＝1D．p：a＝b，q：

6、a

7、＝

8、b

9、B　[A.a＝0⇒ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；B．a＝b⇒(a－b)2＝0，故B正确；C．若

10、a

11、＝1，可得a＝±1，

12、a

13、＝1，推不出a＝1，故C错误；D．若

14、a

15、＝

16、b

17、，可得a＝±b，故D错误．故选B.]2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　)A．x>1　　　　　　B．x<1C．x>3D．x<3A　[∵x>2⇒x>1，但x>1x>2，∴选A.]3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不

18、充分也不必要条件C　[a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]4．有下列命题：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是＜的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号)①②③　[①由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.②由不等式的性质易得a＞b＞0⇒＜，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.③由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.]充要条件的判断【例1】　下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)

19、p：x>0，y>0，q：xy>0；(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(3)p：x>5，q：x>10；(4)p：a>b，q：a2>b2.[解]　命题(1)中，p⇒q，但qp，故p不是q的充要条件；命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；命题(3)中，pq，但q⇒p，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．充要条件判断的两种方法(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，

20、判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．1．在下列四个结论中，正确的有(　　)①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②　　　　　　B．③④C．①④　　　　　　D．②③C　[对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a

21、2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x

22、p(x)}，B＝{x

23、q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.2．记集合M＝{x

24、p(x)}，N＝{x

25、q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件；若N⊆M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．【例2】　已知p：－2≤

26、x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q