2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数学案苏教版

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1、1.1.2　瞬时变化率——导数学习目标核心素养1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)1.通过导数的概念，培养数学抽象素养．2．借助导数的几何意义，提升数学运算素养.1．曲线上一点处的切线如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近

2、曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度与瞬时加速度(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．3．导数(1)函数在一点处的导数及其几何意义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a

3、，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．(3)导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函

4、数值．1．如果质点A的运动方程为y＝3t2，则它在t＝1时的瞬时速度为(　　)A．6t　　B．3C．6＋ΔtD．6D　[＝＝6＋3Δt.当Δt→0时，在t＝1时的瞬时速度为6.故选D.]2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B　[由导数的几何意义知B正确．]3．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．2　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝

5、2Δx，∴＝2，∴f′(2)＝2.]4．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.－1　[由导数的几何意义，f′(4)＝－2.又f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.]求瞬时速度、瞬时加速度【例1】　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是

6、__________．[思路探究]　先求出，再求瞬时速度．(1)v0－gt0　(2)6　[(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴当Δt→0时，→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴当Δt→0时，→

7、6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.]求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．[解]　(1)＝＝＝3－Δt，当Δt→0时，3－Δt→3，即物体的初速度为3m/s.(2

8、)＝＝＝＝－Δt－1，当Δt→0时，－Δt－1→－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度方向相反．(3)＝＝＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.求函数在某点处的导数【例2】　求函数y＝在x＝2处的导数．[思路探究]　→→[解]　令f(x)＝，则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，∴＝，当Δx→0时，→－1，∴函数y＝在x＝2处的导数为－1.由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增