8.1 椭圆 课时闯关（含答案解析）

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1、一、选择题1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为(　　)A.＋＝1　　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知∴∴b2＝a2－c2＝4，故所求椭圆方程为＋＝1.2．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)A．a2＝B．a2＝13C

2、．b2＝D．b2＝2解析：选C.由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.3．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(　　)A．(0，]B．(0，]C．[－1,1)D．[，1)解析：选D.设P(x0，y0)，则

3、PF

4、＝a－ex0.又点F在

5、AP的垂直平分线上，∴a－ex0＝－c，因此x0＝.又－a≤x0b>0)，以其左焦点F1(－c,0)为圆心，以a－c为半径作圆，过上顶点

6、B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M，N.若过两个切点M，N的直线恰好经过下顶点B1(0，－b)，则椭圆E的离心率为(　　)A.－1B.－1C.－2D.－3解析：选B.由题意得，圆F1:(x＋c)2＋y2＝(a－c)2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则切线B2M：(x1＋c)(x＋c)＋y1y＝(a－c)2，切线B2N：(x2＋c)(x＋c)＋y2y＝(a－c)2.又两条切线都过点B2(0，b)，所以c(x1＋c)＋y1b＝(a－c)2，c(x2＋c)＋y2b＝(a－c)2.所以直线c(x＋c)＋y

7、b＝(a－c)2就是过点M、N的直线．又直线MN过点B1(0，－b)，代入化简得c2－b2＝(a－c)2，所以e＝－1.二、填空题6．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周长为

8、AB

9、＋

10、BF2

11、＋

12、AF2

13、＝

14、AF1

15、＋

16、AF2

17、＋

18、BF1

19、＋

20、BF2

21、＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆

22、C的方程为＋＝1.答案：＋＝17．(2011·高考江西卷)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足，解得B.∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝18．(2012·高考四川卷)椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B

23、，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，

24、AF

25、＋

26、AF′

27、＝

28、BF

29、＋

30、BF′

31、＝2a.又△FAB的周长为

32、AF

33、＋

34、BF

35、＋

36、AB

37、≤

38、AF

39、＋

40、BF

41、＋

42、AF′

43、＋

44、BF′

45、＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝.答案：三、解答题9．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线

46、l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝