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《三、多项式、高次方程与复数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、三、多项式、高次方程与复数多项式问题，就内容来说，常涉及到多项式的恒等，多项式的运算，整值多项式，多项式的根，多项式的公因式，因式分解，多元多项式等.一、一元多项式先从一个实际试题谈起.例1.计算解：仔细观察各括号中的式子，都具有的形式，而命,18,10,16,22,…,58,则原式.例2.以的方幂表示.解设，于是比较恒等式两端同类项的系数，得A=1,2A+B=3,A-B+C=2.解之，得A=1,B=5,C=6.于是.例3.求多项式被除的余式.解因为除式是二次多项式，所以余式最多是一次二项式.设令，分别可得.可此可
2、得20于是所求余式为例4.试将多项式表示为两个不同次数的实系数多项式的平方差的形式.分析：可以预见到有形式：.想一想为什么？解：设.其中是待定系数，且.由多项式的恒等定理得方程组故，是一个解，其余三个解为：.二、多元多项式多元多项式有多种类型，一般可分为齐次多项式和非齐次多项式两大类.如果对元多项式的变数字母的下标集｛1,2,…,n｝施行任意一个置换后，都不改变，那么就称为一个元对称多项式.例如.又如与.20也是对称多项式.由此可见，对称多项式也可以是齐次的，也可以是非齐次的.利用待定系数法可以计算齐次对称多项式的
3、同型项的系数.例5.求的展开式解的展开式是三次齐次对称多项式.设.取,得①取,得②取,得27=3L+6M+N.③由①、②、③式解得L=1,M=3,N=6,于是.如果对元多项式的变数字母按照某种次序施行一次轮换后，得到与原来相同的多项式，那么就称为轮换对称多项式.例如，；；都是轮换对称多项式，轮换对称多项式不一定是对称多项式，例如，不是对称多项式，但对称多项式一定是轮换对称多项式.三、多项式的恒等变形.一个多项式用另一个与它恒等的多项式代换称为多项式的恒等变形.由多项式乘法的某些特殊情形的结果而形成多项式恒等变形的常
4、用公式：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；20（7）；（8）；（9）.（10）（11）.（12）.其中.例6.已知，，求证.证：.因为，所以，于是四、多项式的因式分解多项式的因式分解与多项式相乘是相反的恒等变形过程，因此，多项式因式分解的基本方法是多项式运算法则与运算律的运用.例7.将分解因式.解.例8.将分解因式.20解例9.将分解因式.解因为首项与常数项分别为完全平方式，于是，设.因为.所以，从而.因为，.所以，满足所设的等式，于是.例10.将分解因式解例11.把分解因式分析和解:不难看出，当时，已
5、知多项式等于零，因此，多项式能被整除.同样，当和时，多项式等于零.因此多项式能被和整除.因此，我们可以肯定多项式能被整除.这个结果可以说明，多项式可以写成的形式，其中是二次多项式，由于已知多项式和是齐次和对称多项式，所以也应当是齐次和对称多项式，也就是说，它可以写成：，20其中和是待确定的系数.假定恒等式=中先取，然后取，得到，，解得.于是.例12.求证：有无穷多个自然数，使得对于任何非零自然数均为合数.分析:根据题意，应设法找到无数个自然数，使得能分解成两个大于1的自然数的积.不妨取去试，会发现是4的倍数时，用拆
6、项、添项、配方较为方便.进一步探索发现为形式的数，能使分解因式.解设（为大于1的自然数），则==.因为，，.所以能分解为两个大于1的自然数之积，又是任意大于1的自然数，有无穷多个值。例13.已知是自然数，向是质数还是合数？分析质20数只有1和它本身两个约数，而合数除了1和它本身还有别的约数，要判定是质数还是合数，关键看它能否分解因式，并且有没有除了1和它本身以外的约数.解.当时，是合数.当时，是质数.当时，也是质数.当时，，，这说明，此时可以分解为两个大于1的自然数的积，即它为合数.所以，当或2时，是质数；当或时，
7、是合数.例14.解不等式.解分组分解：，可得，所以，即，所以，即20例15.设是三角形的三边，求证几何不等式.证：由于而.从而要证的不等式成立.五、高次方程1．三次简化方程的韦达公式如果是方程的根，那么有,,.实际上，如果是已知方程的根，那么即比较的同次幂的系数，即证.2．次方程的韦达定理.如果是方程的根，那么有，……20.3．如果整系数方程（系数是整数）有不等于0的整数根，那么这个根一定是常数项的约数.实际上，如果一个不等于零的整数是已知方程的根，那么，即，从这个式子可以看出，应当被整除，也就是说，应当是常数项的
8、约数.例16.已知是方程的三个根，求的值.解：如果是原方程的根，则有，，，即，，.因此有.20例17.设实系数方程有三个正根，证明：方程必有一正根.证明：设方程①的三个正根为，又设方程②的三个根为，由韦达定理，得③④⑤⑥⑦⑧由④、⑤知，因此方程②的系数恰好正负相间，这说明方程②不可能有负数根和零根.由于方程②是三次方程，故它必有一实根.此根只可能是正根.例1
