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1、复数与多项式讲义一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去
2、掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,
3、OZ
4、=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作
5、z
6、，由勾股定理知
7、z
8、=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。I．复数的
9、四种表示形式代数形式：R）几何形式：复平面上的点Z（）或由原点出发的向量.三角形式：R.指数形式：.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II．复数的运算法则加、减法：乘法：除法：乘方（棣莫弗定理）：N）；开方：复数次方根是单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=22特别1+Z1+Z2+…
10、+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时方程的根为III．复数的模与共轭复数复数的模的性质①②③④、对应的向量、反向时取等号；⑤，向量同向时取等
11、号.共轭复数的性质①；②；③④；⑤；⑥⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是Ⅳ．复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差2的整数倍）.利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.二、方法与例题1．模的应用。例1求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。[证明]若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以
12、(z+1)2n
13、=
14、
15、-(z-1)2n
16、,即
17、z+1
18、2=
19、z-1
20、2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切
21、z
22、=1，有
23、f(z)
24、=1，求a,b的值。[解]因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=
25、f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)
26、22≥
27、f(1)
28、+
29、f(-1)
30、+
31、f(i)
32、+
33、f(-i)
34、=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i
35、)=-f(-i)，解得a=b=0.2.复数相等。例3设λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要条件。[解]若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，则方程x2-x+1=0中Δ<0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。3．三角形式的应用。例4设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？[解]由题设得，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2
