一元三次方程与复数

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1、浅谈解一元三次方程浅谈解一元三次方程江苏省泰州中学袁蕴哲一、由几个方程引出的讨论解下列方程：1、x-1=02、x2-1=03、x2+1=04、x3-1=0易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。　　如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。将此函数平移，可

2、得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。我们可以得到下表：（均不含字母系数）方程种类实根个数一元一次方程1一元二次方程0、2一元三次方程1、3即：一元n次方程最多有n个实根。再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到x=±-1。负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定i=-1，就有i2=-1。易知，原方程的解就为x=±i。浅谈解一元三次方程由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数(imaginarynumber)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(realnum

3、ber)。规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。二、解高次方程的数学史话一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔

4、塔利亚”来称呼冯塔纳。经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。随着《

5、大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。高次方程求解的工作就此告一段落。值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念

6、，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。三、复数与一元方程的解将实数与虚数相加，就得到复数(complexnumber)，一般用z表示，可写作：z=a+bi其中a为复数的实部，b为复数的虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。表示如下：复数实数有理数整数自然数正整数0负整数分数无理数虚数浅谈解一元三次方程由i=-1，可得：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。这就是关于i的运算。观察复数a+bi，与多项式类似，所以复数的计算法则也与多项式类似，只是

7、计算i的乘方时要换算成对应值。如：(1+6i)(4-2i)=4-2i+24i-12i2=16+22i。有了关于复数的定义与运算，让我们再来看一看方程问题。对于一元二次方程，如果Δ<0，Δ开根后应是一个虚数，可用±-Δi来表示，那么方程的两根就应该是：x=-b±4ac-b2i2a所以，Δ<0的一元二次方程，也有两个根，只不过这两根是在复数集上的。三次方程又是如何呢？我们以方程4为例，x3-1=0。左边运用公式，化为：(x-1)(x2+x+1)=0易得：x-1=0（I）或