江卫兵--复数与方程

《江卫兵--复数与方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2012年江苏省数学夏令营复数与方程复数与方程江卫兵(南京师范大学附属中学)1.复数的几种表示形式(1)代数形式:,其中分别为复数z的实部和虚部,记作.(2)三角形式:,其中r是复数z的模,记作.为复数z的幅角,记作,当时,记作,称为z的幅角主值.(3)几何形式:复平面内的点Z(x,y)向量,其中.两个复数相等的充要条件:.2.复数的运算法则加、减法：乘法：除法：乘方（棣莫弗定理）：N）；开方：复数次方根是3.复数的模与共轭复数复数的模的性质①②③④，向量、反向时取等号；⑤，向量同向时取等号.共轭复数的性质①；②；③④；⑤；⑥⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是代数基本定理：

2、在复数范围内，一元n次方程至少有一个根.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根.4.复数解题的常用方法与思想第5页2012年江苏省数学夏令营复数与方程（1）利用复数相等的充要条件（它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模相等辐角相差2的整数倍）.，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.（3）利用复数的几何形式“向量”及乘法运算的几何意义“旋转”可使相关问题获得解决.5.赛题精讲例1．设是

3、实系数一元二次方程的根，若是虚数，是实数，求的值.例2.已知关于的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，求m的取值范围.例3.设复数其中，当取得最小值时，求的值.例4：已知a，b均为正整数，且求证：对一切，均为整数.例5．设z是虚数，是实数，且.(1)求的值及z的实部的取值范围；(2)设,求证：u为纯虚数；(3)求的最小值.例6.复平面内,△OAB的顶点A、B分别对应复数,O为原点.若,试求△OAB面积的最大值和最小值.例7.对正整数n,令为的最小值,其中,且.若存在n,使也为整数,求一切n的值.第5页2012年江苏省数学夏令营复数与方程例8.任给8个实数.证明:下面

4、6个数中,至少有一个是非负数.例9.设为复数,且满足.求证:上述n个复数中,必存在若干个复数,它们的和的模不小于.例10.以四边形ABCD的各边为斜边向形外作等腰直角三角形△ABP、△BCQ、△CDR、△DAS.求证:PR⊥QS且PR=QS.例11.△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形.现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转.试证:不论△ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在亠点M,使△BMD为等腰直角三角形.例12.证明：若P是△ABC所在平面内的任意一点，则其中例１3.设为平面上任意四点，求证：.例14.过正五边形中心作一直线,使五边形各顶点到这条直线的距离

5、平方和为最小,试求直线方程.例15,设A，B，C分别是复数(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．例16.设n个复数成等比数列,其中,公比为且,复数满足条件:,其中为已知实数.求证:复平面内表示的点都在一个焦距为4的椭圆上.例17.证明:正三角形的三个顶点不可能都是格点.例18已知是次复系数多项式.第5页2012年江苏省数学夏令营复数与方程求证：一定存在一个复数，并且.6.练习题1．设，则的展开式为__________；2．已知，则的最小值是__________；3.当,且1≤n≤100时，的值中有实数__

6、________个；4.设对应复平面上的点，点为原点，，则△的面积是；5.已知是方程的两根，且是虚数，是实数，则的值是；6．二次方程的两根的模都小于2，求实数的取值范围.7．集合，问：集合C中有多少个不同的元素？8．证明：如果复数的模为1，那么方程的所有根都是不相等的实根（n∈N+）.9．已知方程有实根b,且,求复数的幅角主值的取值范围.10．对于,试求函数的值域.11．知复数,且为纯虚数.(1)求在复平面内对应点的轨迹;(2)求argz的范围;(3)求的最小值及相应的复数. 12．平面内,点集中,除去某一个点外的所有的点都在 圆环中.13．BC所在平面内的任一点,记  求证:1

7、4．设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点所对应的复数依次为,则复数所对应的不同点的个数有多少?15.在关于x的二次方程中均是复数，且.设这个方程的两个根为、，且满足.求

8、m

9、的最大值和最小值.16．设非零复数满足第5页2012年江苏省数学夏令营复数与方程其中S为实数且

10、S

11、≤2，求证：复数在复平面上所对应的点位于同一圆周上.第5页